间断的Galerkin / Poisson / Fenics

我正在尝试使用Discontinuous Galerkin方法（DG）和以下离散化方法求解二维Poisson方程（抱歉，我有一个png文件，但不允许上传）：

方程：

$$\nabla \cdot( \kappa \nabla T) + f = 0$$

新的方程：

$$q = \kappa \nabla T\\\nabla \cdot q = -f$$

弱形式与数值通量Ť和q：$\hat{T}$$\hat{q}$

$$\int q \cdot w dV = - \int T \nabla \cdot (\kappa w) dV +  \int \kappa \hat{T} n \cdot w dS\\ \int q \cdot \nabla v dV = \int v f dV +  \int \hat{q} \cdot n v dS$$

数值通量（IP方法）：

$$\hat{q} = \{\nabla T\} – C_{11} [T]\\ \hat{T} = \{T\}$$

其中

$$\{T\} = 0.5 (T^+ + T^-)\\ [T] = T^+ n^+ + T^- n^-$$

我写了一个简单的fenics python脚本来求解方程。我得到的解决方案不好。如果熟悉DG方法的人可以快速浏览下面的脚本并告诉我我在做什么错，我将不胜感激。

我在脚本中添加的连续galerkin公式提供了一个不错的解决方案。

非常感谢。

from dolfin import *

method = "DG" # CG / DG

# Create mesh and define function space
mesh = UnitSquare(32, 32)
V_q = VectorFunctionSpace(mesh, method, 2)
V_T = FunctionSpace (mesh, method, 1)
W = V_q * V_T

# Define test and trial functions
(q, T) = TrialFunctions(W)
(w, v) = TestFunctions(W)

# Define mehs quantities: normal component, mesh size
n = FacetNormal(mesh)

# define right-hand side
f = Expression("500.0*exp(-(pow(x[0] - 0.5, 2) + pow(x[1] - 0.5, 2)) / 0.02)")

# Define parameters
kappa = 1.0

# Define variational problem
if method == 'CG':
  a = dot(q,w)*dx \
       + T*div(kappa*w)*dx \
       + div(q)*v*dx

elif method == 'DG':
  #modele = "IP"
  C11 = 1.

  a = dot(q,w)*dx + T*div(kappa*w)*dx \
      - kappa*avg(T)*dot(n('-'),w('-'))*dS \
                                           \
      + dot(q,grad(v))*dx \
      - dot( avg(grad(T)) - C11 * jump(T,n) ,n('-'))*v('-')*dS

L = -v*f*dx

# Compute solution
qT = Function(W)
solve(a == L, qT)

# Project solution to piecewise linears
(q , T) = qT.split()

# Save solution to file
file = File("poisson.pvd")
file << T

# Plot solution
plot(T); plot(q)
interactive()

要在FEniCS中实现您的问题，您必须将边界上的积分替换为边上的积分。这会在测试功能中引入跳跃/平均值，而您在实现过程中会完全错过这些跳跃/平均值。因此，系统不可逆，您的解决方案看起来也不正确。Arnold等人的公式（3.3）。等 2002为您提供了一种重写弱形式的工具：

$$\sum_{K\in\mathcal{T}_h}\int_{\partial K} q_K \cdot n_K \phi_K\,ds=\int_\Gamma [q] \cdot \{\phi\}\,ds + \int_{\Gamma^0} \{q\} \cdot [\phi]\,ds$$

这里是您的边的并集，相同，没有边界。$\Gamma$$\Gamma^0$

现在您的磁通是单值的，这意味着您可以删除磁通的跳跃。因此

$$\sum_{K\in\mathcal{T}_h}\int_{\partial K} \hat{q}\cdot n_K v_K\,ds=\int_{\Gamma^0} \hat{q} \cdot [v]\,ds + \int_{\partial\Omega} \hat{q} \cdot n v\,ds\\ \sum_{K\in\mathcal{T}_h}\int_{\partial K} w\cdot n_K \kappa\hat{T}\,ds=\int_{\Gamma} [w] \cdot \kappa\hat{T}\,ds$$

这使我们对您的代码进行了以下修改：

C11 = 1.
qhat = avg(grad(T)) - C11 * kappa*jump(T,n)
qhatbnd = grad(T) - C11 * kappa*T*n

a = dot(q,w)*dx + T*div(kappa*w)*dx \
  - kappa*avg(T)*jump(w,n)*dS \
  - kappa*T*dot(w,n)*ds \
  - dot(q,grad(v))*dx \
  + dot( qhat, jump(v,n))*dS \
  + dot( qhatbnd, v*n)*ds

我还没有时间实际尝试该操作，因此请注意可能出现的符号错误等。但是无论如何，我希望这对您有所帮助。

参考文献： DN Arnold，F。Brezzi，B。Cockburn，LD马里尼：椭圆形问题的间断Galerkin方法的统一分析。肛门，39（2002），1749-1779

是的，我真的很想念东西！

现在工作正常。

非常感谢您的帮助！