如何使用有限体积一阶迎风方案处理非恒定系数？

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从守恒形式的平流方程开始。

u_{t} = (a (x) u)_{x}

$u_t = (a(x)u)_x$

其中是取决于空间的速度，而是守恒物种的浓度。 $a(x)$ $u$

离散通量（在网格点之间的像元边缘上定义通量）给出 $f=a(x)u$

u_{t} = \frac{1}{h} (f_{j - \frac{1}{2}} - f_{j + \frac{1}{2}})

$u_t = \frac{1}{h}\left( f_{j-{\frac{1}{2}}} - f_{j+{\frac{1}{2}}} \right)$

使用一阶迎风，我们将通量近似为

f_{j - \frac{1}{2}} = a (x_{j - \frac{1}{2}}) u_{j - 1} f_{j + \frac{1}{2}} = a (x_{j + \frac{1}{2}}) u_{j}

$f_{j-{\frac{1}{2}}} = a(x_{j-\frac{1}{2}})u_{j-1} \\ f_{j+{\frac{1}{2}}} = a(x_{j+\frac{1}{2}})u_{j}$ ，

u_{t} = \frac{1}{h} (a (x_{j - \frac{1}{2}}) u_{j - 1} - a (x_{j + \frac{1}{2}}) u_{j})

$u_t = \frac{1}{h} \left( a(x_{j-\frac{1}{2}})u_{j-1} - a(x_{j+\frac{1}{2}})u_{j} \right)$

如果是常数，则将简化为熟悉的迎风方案，即。 $a(x)$ $u_t = \frac{a}{h} \left( u_{j-1} - u_{j} \right)$

我的问题是，如何处理平流方程的非常数系数？速度是在细胞中心定义的，因此下面是一种简单的方法，

a (x_{j - \frac{1}{2}}) \to a (x_{j - 1}) a (x_{j + \frac{1}{2}}) \to a (x_{j})

$a(x_{j-\frac{1}{2}}) \rightarrow a(x_{j-1}) \\ a(x_{j+\frac{1}{2}}) \rightarrow a(x_{j})$

这是我的首选方法，因为它非常容易实现。

但是，我们也可以使用（我猜是）平均方案来定义像元边缘的速度

a (x_{j - \frac{1}{2}}) \to \frac{1}{2} a (x_{j - 1}) + \frac{1}{2} a (x_{j}) a (x_{j + \frac{1}{2}}) \to \frac{1}{2} a (x_{j}) + \frac{1}{2} a (x_{j + 1})

$a(x_{j-\frac{1}{2}}) \rightarrow \frac{1}{2}a(x_{j-1} ) + \frac{1}{2}a(x_{j} ) \\ a(x_{j+\frac{1}{2}}) \rightarrow \frac{1}{2}a(x_{j} ) + \frac{1}{2}a(x_{j+1} ) \\$

他在LeVeque的书中说：

到目前为止，我们已经假设可变速度由第j个网格单元内的常数指定。在某些情况下，更自然的是假设在每个单元界面上指定了速度。 $a(x)$ $a_j$ $a_{j−{\frac{1}{2}}}$

但是在那之后他并没有做太多的阐述。什么是常用方法？

我正在解决一个守恒问题（我使用对流方程作为连续性方程），所以我想确保在应用离散化之后能够保留守恒属性。我想避免有关这些可变系数的任何隐藏惊喜！有人有一些一般性的意见和指导吗？

更新下面有两个非常好的答案，我只能选择一个:(

discretization finite-volume numerical-analysis

— Boyfarrell
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4

根据您要查看的系统类型，将速度视为每个单元中的分段常数，或者将其定义为单元接口可能更方便。例如，在气象学中，交错网格非常普遍，其中可能定义了单元内部的压力和单元界面的速度。您可以轻松地想到单元格中定义的速度。总而言之：只要您的离散化是稳定且一致的，表示的选择就不会影响方法的收敛*。 $a$

最重要的（并且您已经在问题中提到了这一点）是离散化系统仍然是保守的。只要您的方案可以用以下形式编写

$\frac{\partial u_j}{\partial t} = F_{j-\frac{1}{2}}(u_{j-1},u_j) - F_{j+\frac{1}{2}}(u_j,u_{j+1})$

那么应该保守一点，因为

。 $\frac{\partial}{\partial t}\int u dx = \sum_j\frac{\partial u_j}{\partial t}\delta x = \sum_j( F_{j-\frac{1}{2}}- F_{j+\frac{1}{2}} )\delta x = (F_{-\frac{1}{2}}-F_{N+\frac{1}{2}})\delta x$

您的简单方法应该可以很好地工作，只要将单元之间的速度平均以在单元界面上定义它即可，只要该速度始终为正。而且，我认为平均不会为您带来更高的准确度，因此您更喜欢简单的方法。

如果您也正在求解速度并且您拥有方程组，则可能需要格外小心。同样，如果要求解非线性双曲型PDE并使用通量限制器，则必须更加谨慎。

*但是，对于双曲PDE系统，使用交错网格可以大大改善人工分散/扩散。如果您想了解更多信息，请查阅Arakawa C-grids或查阅本书的第4章。

— 丹尼尔·沙佩罗（Daniel Shapero）
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感谢您的解释。你的直觉是正确的；我正在求解一个方程组，其中一个方程是速度（其他变量的PDE）。方程组仅是一维的，我计划使用指数拟合的自适应一阶迎风方法（可以在二阶中心和迎风之间翻转）。我没有使用磁通限制器，但是系统是非线性的。在这种情况下，我需要“更加小心”吗？

— boyfarrell

这全取决于您是否期望形成冲击波等，是否有可能在某些区域将速度降至零以下，或者速度是否可能变得足够高以至于会违反Courant-Friedrichs-Lewy条件在某一点。就是说，我将首先尝试使用简单的方法来查看它是否可行，并且很可能会做到。如果它将失败，它将毫不动摇地做到这一点，因此，我认为您不必担心在雷达下会出现一些错误。

— Daniel Shapero

是的，我期望速度只有非零只在我区的中心，然后迅速接近零作为一个移动远离中心。我选择时间步长，以便满足CFL条件（使用最大速度），网格固定。冲击波的标准是什么？我不希望看到这种情况（但您永远不会知道）。

— boyfarrell

5

$a(x)$

我的意思是一致的是，插值需要满足的唯一条件是

a_{i + 1 / 2}^{+} = a_{i + 1 / 2}^{-}

$a_{i+1/2}^+ = a_{i+1/2}^-$

换句话说，只要插值方法在像元边界上是连续的，离散化就可以保证保持保守。

在1D中，这似乎不是一个大问题（应该不会），但可能会在多级AMR网格上的粗精细接口上引起问题。

— 研究生
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u_{j + \frac{1}{2}}

$u_{j+\frac{1}{2}}$

a (x_{j + \frac{1}{2}})

$a(x_{j+\frac{1}{2}})$

a (x_{j + \frac{1}{2}}) \to a (x_{j + 1})

$a(x_{j+\frac{1}{2}}) \rightarrow a(x_{j+1})$

u_{j + \frac{1}{2}}

$u_{j+\frac{1}{2}}$

@boyfarrell从某种意义上讲，该方法仍应保持保守是可以的。但是，它确实会影响解决方案的准确性。通常，例如在ENO方案中，通常只近似整个通量函数，而不是近似地求解速度和解。

— GradGuy

4

$a(x_{j-\frac{1}{2}})$

要了解为什么会这样，请考虑对保守性的分析定义是：

\frac{\partial}{\partial t} \int_{D} u (x) d x = \int_{\partial D} a (x) u (x) d S,

$\frac{\partial}{\partial t}\int_D u(x)\, dx = \int_{\partial D} a(x)u(x) dS,$

$D$

如果我们的离散化形式为

u_{t} (x_{j}) = \frac{1}{h} (a (x_{j - \frac{1}{2}}) u_{j - \frac{1}{2}} - a (x_{j + \frac{1}{2}}) u_{j + \frac{1}{2}})

$u_t(x_j) = \frac{1}{h}\left(a(x_{j-\frac{1}{2}})u_{j-\frac{1}{2}} - a(x_{j+\frac{1}{2}})u_{j+\frac{1}{2}}\right)$

$x_1,\ldots, x_n$ $D = [c,d]$ $c = x_{\frac{1}{2}}$ $d = x_{n+\frac{1}{2}}$

\frac{1个}{H} \sum_{Ĵ = 1个}^{ñ} （ 一种 （ X_{Ĵ - \frac{1个}{2}} ） ü_{Ĵ - \frac{1个}{2}} - 一种 （ X_{Ĵ + \frac{1个}{2}} ） ü_{Ĵ + \frac{1个}{2}} ） = 一种 （ X_{\frac{1个}{2}} ） ü_{\frac{1个}{2}} - 一种 （ X_{ñ + \frac{1个}{2}} ） ü_{ñ + \frac{1个}{2}} ，

$\frac{1}{h}\sum_{j=1}^n\left(a(x_{j-\frac{1}{2}})u_{j-\frac{1}{2}} - a(x_{j+\frac{1}{2}})u_{j+\frac{1}{2}}\right) = a(x_{\frac{1}{2}})u_{\frac{1}{2}} - a(x_{n+\frac{1}{2}})u_{n+\frac{1}{2}},$

$u_{j-\frac{1}{2}} = u_{j-1}$ $u_{j+\frac{1}{2}} = u_j$ $a(x)u$

$a(x)$ $a(x_{j-r}), \ldots, a(x_{j+s})$ $a(x_{j-\frac{1}{2}})$

— 本
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