压力作为拉格朗日乘数

在不可压缩的Navier-Stokes方程中，压力项通常被称为拉格朗日乘数，用于强制不可压缩条件。

\begin{aligned} ρ (u_{t} + (u \cdot \nabla) u) & = - \nabla p + μ Δ u + f \\ \nabla \cdot u & = 0 \end{aligned}

$\begin{align*} \rho\left(\mathbf{u}_t + (\mathbf{u} \cdot \nabla)\mathbf{u}\right) &= - \nabla p + \mu\Delta\mathbf{u} + \mathbf{f}\\ \nabla\cdot\mathbf{u} &= 0 \end{align*}$

从什么意义上说这是真的？是否存在不可压缩的Navier-Stokes方程式，作为受不可压缩性约束的优化问题？如果是这样，是否存在一个数值模拟，其中在优化框架内求解了不可压缩流体的方程？

— 本
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通过考虑平稳的Stokes方程可以很容易看出这一点，这等效于问题如果先写下拉格朗日公式，然后写下该优化问题的最优条件，您会发现压力确实是拉格朗日乘数。

- μ Δ u + \nabla p = f \nabla \cdot u = 0

$-\mu \Delta u + \nabla p = f \\ \nabla \cdot u = 0$

min_{u} \frac{μ}{2} ‖ \nabla u ‖^{2} - (f, u) so that \nabla \cdot u = 0.

$\min_u \frac\mu 2 \|\nabla u\|^2 - (f,u) \\ \text{so that} \; \nabla\cdot u = 0.$

问题之间的等价性在任何数值方案中都没有得到利用（据我所知），但它是分析中的重要工具，因为它表明Stokes方程实质上是线性子空间上的Poisson方程。时间相关的斯托克斯方程（对应于子空间上的热方程）也是如此，并且可以扩展到纳维尔-斯托克斯方程。

— 沃尔夫冈·邦格斯
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感谢您的答复。您知道这种表达方式是否可以扩展到与时间有关的情况？

— 奔

是的，就像我说的那样，它导致了无散度函数子空间的热方程。

— Wolfgang Bangerth

抱歉，我应该更清楚了。有没有一种方法可以将与时间相关的斯托克斯（或Navier-Stokes）方程作为一种优化问题重铸，可能是随时间推移而进行的功能集成？

— 奔

并非优化问题-热方程的求解不会使任何事物最小化（尽管它是拉格朗日函数的固定点）。但是您可以将Stokes方程公式化如下：找到以便对所有受的约束。请注意，我选择的测试空间小于试用空间，因此变分方程的左侧和右侧将不相等。区别在于压力。

u \in H_{div}

$u \in H_\text{div}$

(u_{t}, φ) + (\nabla u, \nabla φ) = (f, φ)

$(u_t,\varphi)+(\nabla u,\nabla\varphi)=(f,\varphi)$

φ \in {v \in H_{div} : \nabla \cdot v = 0}

$\varphi\in \{v\in H_\text{div}: \nabla \cdot v = 0\}$

\nabla \cdot u = 0

$\nabla \cdot u = 0$

— Wolfgang Bangerth