隐式FEM和显式FEM有什么区别？

显式FEM和隐式FEM到底有什么区别？根据此处的帖子，似乎唯一的区别是使用隐式还是显式时间积分。

正如我从读过的一本书中所记得的那样，隐式有限元法是质量不集中到节点的地方。

显式和隐式FEM的确切定义是什么？

对于瞬态问题的FEM方法通常使用线法，即空间离散与时间离散解耦： 其中 U（t ）是节点量的矢量，假定为时间的未知函数。在此假设下，使用常规FEM机械解决静态问题，将（x ，t ）中的时空PDE减少（离散）到仅包含 t中的 ODE。

$$\begin{equation} u^h(x,t) = \mathbf{\Phi}(x)^T \, \mathbf{U}(t) \end{equation}$$ $\mathbf{U}(t)$$(x,t)$$t$

正如其他答案所指出的那样，我们参考这些ODE的时间积分方案来讨论显式或隐式FEM。

$$\begin{equation} \mathbf{M} \ddot{\mathbf{U}}(t) + \mathbf{F}_\text{i}(\mathbf{U}(t)) = \mathbf{F}_\text{e}(t) \end{equation}$$ $\mathbf{F}_\text{i}$$\mathbf{F}_\text{e}$$\mathbf{F}_\text{i}(t) = \mathbf{K}\, \mathbf{U}(t)$

$\ddot{\mathbf{U}}(t)$

$$\begin{equation} \mathbf{M} \ddot{\mathbf{U}}(t) = -\mathbf{F}_\text{i}(\mathbf{U}(t)) + \mathbf{F}_\text{e}(t) \end{equation}$$ $\mathbf{F}_\text{i}(\mathbf{U}(t)) = \mathbf{b}$

$\ddot{\mathbf{U}}(t)$

是的，这是时间积分，但这也意味着：

1. 您必须在隐式方案中解决Ax = b类型的线性系统，而在隐式方案中则不需要，因为集总质量矩阵只有对角线项，所以inv（M）很小。

2. 显式方案中的时间步长受CFL稳定性标准的限制。隐式方案是无条件稳定的（尽管在实践中，您仍然需要合理的时间步长才能实现）

通常，惯性效应很重要的问题（例如，波传播）可以通过显式方案解决，而准静态问题通常使用隐式方案。但是也有例外。

术语“显式”和“隐式”出现在时间离散中，并且这些术语已经在有关常微分方程的文献中使用（即，它们并不特定于有限元法）。值得一看的书是讨论ODE数值解的书，例如Hairer＆Wanner。