Voronoi镶嵌和Delaunay三角剖分问题如何互为对偶？

我一直被告知，Voronoi图是Delaunay三角剖分问题的对偶。他们在什么意义上可以互为偶像？我认为双重问题（即线性编程中的问题）应该产生相同的答案。显然，这两个问题没有相同的解决方案。我们如何看待它们对偶？

简单的答案是它们是对偶的，因为对于每个delaunay三角剖分，只有一个对应的voronoi细分和反之亦然。在大多数情况下都是这样，但是在某些情况下，对应关系不是一对一的。例如，在voronoi细分为规则正方形网格的情况下。

对于给定的点集，voronoi细分和delaunay三角剖分都是不平凡的。但是一旦找到一个，就很容易找到另一个。

在一组点的Delaunay三角剖分，所有三角形均为“ delaunay”，这意味着外接圆内没有与任何三角形对应的点。$P$

为一组点的沃罗努瓦剖分，，由该组Voronoi单元的，使得对于在每一点更接近然后在任何其他点。- [R [R 我P 我$P$$R$$R_i$$P_i$$P$

给定delaunay三角剖分，只需将相邻三角形的外接圆心连接起来即可。

给定点的集合和voronoi镶嵌可以简单地连接相邻单元的点。当然，这是因为您知道构造voronoi镶嵌时使用的点的集合。$P$$P$

只是为了说明其他人在说什么：下面的蓝色是Voronoi图，红色是双重Delaunay三角剖分。它们作为几何平面图相互对偶。从Voronoi图可以轻松得出Delaunay三角剖分。反向方向不是很明显，但是仍然可以通过Delaunay三角剖分和一些计算来计算Voronoi图。
          
我使用ComputationalGeometry软件包为Mathematica中的50个随机点计算了这些图。有关我的代码，请参见此链接。

这两个问题要求提出一种实际上彼此相反的平铺：一组点的Voronoi镶嵌是一组几何对象，使得在内部的每个点物体比点更接近点。Delaunay三角剖分实际上是相反的：三角形集合将点集连接在一起。g ^ g ^ ${\bf P}$${\bf G}$$G_i$P Ĵ ∈ P，Ĵ ≠ 我$P_i$$P_j \in {\bf P}, j \neq i$${\bf P}$

从某种意义上讲，这类似于统计物理学中三角形和六边形格子之间的对偶性。等边三角形格子中的单元的中点在连接时形成六边形格子，反之亦然。

但是，应该指出的是，并不是所有的Voronoi镶嵌都是Delaunay三角剖分的对偶。这种关系可能仅对未加权的 Voronoi镶嵌有效。对于加权镶嵌方法，其中使用除欧几里德距离以外的其他方法来确定边缘，则对应关系会分解。

详细阐述Geoff的评论：Delaunay三角剖分和Voronoi图是“对象”而不是“问题”。因此，谈到“解决方案”有点偏离。

二元性在六面体化和三角剖分之间：要从三角学变为六面体，您需要形成三角剖分顶点的Voronoi集。要从Voronoi镶嵌移动到Delaunay三角剖分，请连接两个单元格的“中点”（如果它们彼此接触）。

Voronoi图和Delaunay图因其图属性而被称为对偶图。请参阅Wikipedia上的Dual Graph。