Parareal，PITA和PFASST有什么区别？

Parareal，PITA和PFASST算法都是跨域技术，用于并行解决时间相关问题的解决方案。

1. 这些方法背后的指导原则是什么？

2. 它们之间的主要区别是什么？

3. 我可以说一个基于另一个吗？怎么样？

4. 那他们的应用呢？

我知道对“哪个更好？”这个问题没有答案，但是对它们的应用领域和验证条件的充分了解对我有帮助。

这些方法可以用两种时间步进方法粗略地描述，在此用和F表示。既 ģ和˚F传播的初始值 ü Ñ ≈ ù （吨Ñ）通过近似的解$G$$F$$G$$F$$U_n \approx u(t_n)$

$$u(t) = u_0 + \int_0^t f(\tau,u(\tau)) \,d\tau$$

从到吨Ñ + 1（即，˙ û = ˚F （Û ，吨））。为了使这些方法有效，必须是G传播器在计算上比F传播器便宜的情况，因此 G通常是一种低阶方法。由于方法的整体精度受到F传播器精度的限制 ，因此F通常是高阶的，并且与G相比，可以使用更小的时间步长 。由于这些原因，$t_n$$t_{n+1}$$\dot{u} = f(u,t)$$G$$F$$G$$F$$F$$G$$G$称为粗繁殖体，称为细繁殖体。$F$

该Parareal方法开始通过计算第一近似 为Ñ = 0 ... ñ - 1其中Ñ是时步，使用粗传播的数量。然后，Parareal方法以迭代方式进行，在F （t n + 1，t n，U k n）的并行计算与该形式的每个处理器的初始条件的更新之间交替进行$U_{n+1}^0$$n = 0 \ldots N-1$$N$$F(t_{n+1},t_n,U_n^k)$

$$U_{n+1}^{k+1} = G(t_{n+1}, t_n, U_n^{k+1}) + F(t_{n+1}, t_n, U_n^k) - G(t_{n+1}, t_n, U_n^{k})$$

$n = 0 \ldots N-1$$G$$F$

PITA方法与Parareal非常相似，但是它会跟踪以前的更新，并且仅以类似于Krylov子空间方法的方式更新每个处理器上的初始条件。这使PITA可以解决Parareal无法解决的线性二阶方程。

PFASST方法在两个基本方面与Parareal和PITA方法不同：首先，它依靠迭代的光谱延迟校正（SDC）时间步长方案，其次，它对粗传播子采用了完全近似方案校正，实际上是PFASST可以使用传播者的层次结构（而不​​是两个）。使用SDC可以使时间并行和SDC迭代混合在一起，从而放宽了Parareal和PITA的效率约束。在构造PFASST的粗粒度传播器时，使用FAS校正可提供很大的灵活性（使粗粒度传播器尽可能便宜有助于提高并行效率）。粗化策略包括：时间粗化（较少的SDC节点），空间粗化（用于基于网格的PDE），操作员粗化和物理减少。

我希望本文概述了算法之间的基础，差异和相似之处。请参阅这篇文章中的参考以获取更多详细信息。

在应用方面，这些方法已应用于各种方程（行星轨道，Navier-Stokes，粒子系统，混沌系统，结构动力学，大气流动等）。在对给定问题应用时间并行化时，您当然应该以适合要解决的问题的方式来验证该方法。