FAS-multigrid比线性缺陷校正慢吗？

我已经使用线性缺陷校正（LDC）和全近似方案（FAS）实现了V循环多网格求解器。

我的问题如下：使用LDC，每个循环的残差减少了约0.03倍。FAS的实现也确实以线性因子收敛，但是该因子仅为〜0.58。因此，FAS需要大约20倍的循环次数。

大多数代码是共享的，唯一的区别是LDC使用的向下/向上计算

下：$u_H:=0,\quad b_H:=I_h^H(b_h-L_hu_h)$

上：$u_h:=u_h+I_H^hu_H$

和FAS使用

下：$u_H:=I_h^Hu_h,\quad b_H:=I_h^Hb_h+L_HI_h^Hu_h-I_h^HL_hu_h$

上：$u_h:=u_h+I_H^h(u_H-I_h^Hu_h)$

我的测试设置来自Brigg的“ Multigrid教程，第二版”，第1页。64，有分析解决方案

$u(x,y)=(x^2-x^4)(y^4-y^2) \quad$与$x,y\in [0,1]^2$

使用典型的线性五点模具作为Laplace-operator L，该方程式为Lv = \ Delta u =：b。最初的猜测是v = 0。$Lv=\Delta u=:b$$L$$v=0$

使用v = 1的初始猜测将测试设置更改为琐碎的$u(x,y)=0$，会导致几乎相同的收敛因子。$v=1$

由于只有向下/向上的代码有所不同，所以LDC的结果与本书相符，而且FAS至少似乎也可以工作，我不知道为什么在相同的线性设置下它这么慢。

在LDC和FAS中都存在一个奇怪的行为，我无法解释，但这仅在初始猜测不好的情况下才会发生（例如但在我的完整多网格实验中，对新的精细网格进行插值会使残差从到）：如果我将后校正松弛的数量增加到很高的数量，从而解决了在粗网格上的机器精度问题的解决方案，那么在向上移动时，几乎所有数字都将丢失到下一个细格。$=0$$10^{-15}$$10^{-1}$

由于图片比文字更能说明问题：

// first cycle, levels 0-4
// DOWN
VCycle top 4, start               res_norm 3.676520e+02 // initial residual
VCycle top 4, cycle 0, current 4, res_norm 3.676520e+02
VCycle top 4, cycle 0, current 4, res_norm 1.520312e+02 // relaxed (2 iterations)
VCycle tau_norm 2.148001e+01 (DEBUG calculation)
VCycle top 4, cycle 0, current 3, res_norm 1.049619e+02 // restricted
VCycle top 4, cycle 0, current 3, res_norm 5.050392e+01 // relaxed (2 iterations)
VCycle top 4, cycle 0, current 2, res_norm 3.518764e+01 // restricted
VCycle top 4, cycle 0, current 2, res_norm 1.759372e+01 // relaxed (2 iterations)
VCycle top 4, cycle 0, current 1, res_norm 1.234398e+01 // restricted
VCycle top 4, cycle 0, current 1, res_norm 4.728777e+00 // relaxed (2 iterations)
VCycle top 4, cycle 0, current 0, res_norm 3.343750e+00 // restricted
// coarsest grid
VCycle top 4, cycle 0, current 0, res_norm 0.000000e+00 // solved
// UP
VCycle top 4, cycle 0, current 1, res_norm 3.738426e+00 // prolonged
VCycle top 4, cycle 0, current 1, res_norm 0.000000e+00 // relaxed (many iterations)
VCycle top 4, cycle 0, current 2, res_norm 1.509429e+01 // prolonged (loosing digits)
VCycle top 4, cycle 0, current 2, res_norm 2.512148e-15 // relaxed (many iterations)
VCycle top 4, cycle 0, current 3, res_norm 4.695979e+01 // prolonged (loosing digits)
VCycle top 4, cycle 0, current 3, res_norm 0.000000e+00 // relaxed (many iterations)
VCycle top 4, cycle 0, current 4, res_norm 1.469312e+02 // prolonged (loosing digits)
VCycle top 4, cycle 0, current 4, res_norm 9.172812e-24 // relaxed (many iterations)

我不确定每个周期是否只能获得几位数字，或者这是否表示在对精细网格进行插值时出现错误。如果是后一种情况，那么在始终使用2个弛豫时，LDC如何实现约0.03的账面剩余比率？

我不直接知道您的答案，因为我主要使用FAS而不是校正，因为我针对非线性问题使用了多重网格，但是您可以考虑以下几点：

• 您正在对线性问题应用线性校正方案，因此它做得很好并不令人惊讶。

• 考虑您的边界条件：确保您正确地执行了边界条件，并注意复杂的BC在粗网格上看起来可能完全不同，因此在那里进行的校正就没有太大用处了。

• 仔细检查您对源词的处理方式；我记得在为泊松写那个词时，在与该词有关的延长阶段中搞砸了一些东西。

• 我从未见过需要迭代以在最粗糙的网格上收敛。那里的解决方案取决于细网格残差是否正确，事实并非如此。您正在尝试将这些错误排除在域之外/将其消除。如果您在早期迭代中已完全收敛于最粗糙的网格，则您的解决方案自然就与正确的精细网格解决方案相距甚远，因为那里的残差不是最新的。这几乎可以肯定是为什么您在延长阶段看到残差上升的原因。

• 另外，对限制和延长算子尝试一个松弛因子，例如0.75。

如果有帮助，这就是我的FAS剩余历史记录，使用单个栅极经过7V完整周期的泊松问题。我相信松弛因子是0.75，并且我使用了3阶RK方案作为平滑器，并且在每个网格级别进行了一次迭代。

如果您使用的是以顶点为中心的离散化，那么状态限制应该是注入，而不是您所使用的完全加权残差限制。也就是说，更换$I_h^H$ 与 $\hat I_h^H$限制状态时。对状态使用全权重限制会产生状态高频分量的混叠，该高频分量在应用后$u^h \gets u^h (u^H - I_h^H u^h)$会导致产生与粗校正之前相同级别的新噪声（边界条件很可能是造成这种影响的元凶）。使用注射$\hat I_h^H u^h$，这个问题应该消失了。

从频谱上讲，状态限制只需要高阶次阶（准确保留低频），但是主阶次（高频混叠）并不重要。注入具有主阶0和无限次阶。同时，残差限制需要主序和次序都为正（至少）。请参阅Achi Brandt的Multigrid Guide的 4.3节。

在设计MG方法时，也可以着眼于错误而不是残差，并确保适当地权衡标准。

我现在解决了问题。我储存了$u_{old}^H=I_h^Hu^h$ 在V周期内下降并在以后重新使用时

$u^h\leftarrow u^h+I_H^h(u^H-I_h^Hu^h)=u^h+I_H^h(u^H-u_{old}^H)$。

问题出在从 $H$ 至 $2H$， $u_{old}^H$放松到位。在放松步骤之前存储副本会有所帮助。以来$u_{old}^H$ 仅在FAS中需要，而在线性计算中未显示。