给定一个SPD三对角线性系统，我们是否可以预先计算，以便可以在O（1）时间内链接任何三个索引？

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考虑一个对称正定三对角线线性系统，其中和。给出三个指数，如果我们严格假设之间仅方程行和保持，我们可以消除中间变量获取形式的公式

A x = b

$A x = b$

A \in R^{n \times n}

$A \in \mathbb{R}^{n \times n}$

b \in R^{n}

$b \in \mathbb{R}^n$

0 \leq i < j < k < n

$0 \le i < j < k < n$

i

$i$

k

$k$

u x_{i} + v x_{j} + w x_{k} = c

$u x_i + v x_j + w x_k = c$ 其中

。该方程将

的值与

无关，而不受“外部”影响（例如，如果引入了影响

的约束）。

v > 0

$v > 0$

x_{j}

$x_j$

x_{i}, x_{k}

$x_i,x_k$

x_{0}

$x_0$

问题：是否可以在时间内对线性系统进行预处理，以便可以在时间内确定任何的链接方程式？ $Ax = b$ $O(n)$ $(i,j,k)$ $O(1)$

如果的对角线为2，则对角线为，并且，则期望的结果是离散化Poisson方程的解析结果。不幸的是，不可能在不破坏三对角线结构的情况下将一般的SPD三对角线系统转换成常数系数泊松方程，这主要是因为不同的变量可以具有不同级别的“筛选”（局部严格的正定性）。例如，简单的对角缩放可以消除的自由度的一半，但不能消除另一半。 $A$ $-1$ $b = 0$ $x$ $2n-1$ $A$

直观地，解决该问题将需要安排问题，以便可以将筛选量累积到线性大小数组中，然后以某种方式“取消”以得出给定三元组的链接方程。

更新（更直观）：就PDE而言，我在一维中存在离散的线性椭圆问题，并且我想知道是否可以在预计算中花费来生成某种可以查看的“解析”解决方案在时间中，允许我更改边界条件所在的位置。 $O(n)$ $O(1)$

linear-algebra poisson

— 杰弗里·欧文
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2

$b = 0$ $n$ $(0,i,n-1)$ $0 \le i < n$

x_{i} = a_{i} x_{0} + b_{i} x_{n - 1}

$x_i = a_i x_0 + b_i x_{n-1}$

$i < j$ $i$ $j$ $x_{n-1}$

\begin{aligned} b_{j} x_{i} & = a_{i} b_{j} x_{0} + b_{i} b_{j} x_{n - 1} \\ b_{i} x_{j} & = a_{j} b_{i} x_{0} + b_{i} b_{j} x_{n - 1} \\ b_{j} x_{i} - b_{i} x_{j} & = (a_{i} b_{j} - a_{j} b_{i}) x_{0} \\ x_{i} & = \frac{a_{i} b_{j} - a_{j} b_{i}}{b_{j}} x_{0} + \frac{b_{i}}{b_{j}} x_{j} \end{aligned}

$\begin{aligned} b_j x_i &= a_i b_j x_0 + b_i b_j x_{n-1} \\ b_i x_j &= a_j b_i x_0 + b_i b_j x_{n-1} \\ b_j x_i - b_i x_j &= (a_i b_j - a_j b_i) x_0 \\ x_i &= \frac{a_i b_j - a_j b_i}{b_j} x_0 + \frac{b_i}{b_j} x_j \end{aligned}$

$x_0$ $(i,j,k)$ $b_j = 0$ $b_j = 0$

— 杰弗里·欧文
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实施此操作后，我可以确认（1）它以精确的算术工作，并且（2）它非常不稳定。直观地讲，该解决方案对指数函数进行了一堆外推，这打破了椭圆问题的良好插值特性。

— 2013年

b_{j} \approx 0

$b_j\approx 0$

n \log n

$n\log n$

O (n)

$O(n)$

O (\log n)

$O(\log n)$

2

我想知道您是否可以对A的循环归约分解进行一些有用的操作（我相信它仍然是O（n）的大小），重用在分解连续A子矩阵时将保持不变的尽可能多的块。它给你O（1），但是可能是O（log n）...

— 罗伯特·布里德森
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O (\log n)

$O(\log n)$

没有摊销的机会帮助您吗？

— 罗伯特·布里德森

还有许多其他摊销正在进行，因此这很有可能。不过我还不知道。

— 杰弗里·欧文

这就是我需要摊销成本的方式：cstheory.stackexchange.com/questions/18655/…。

— 杰弗里·欧文

大！有人发布了关于该问题的绝妙解决方案，因此我不再需要该问题的答案。该问题中的半群乘法运算消除了中间变量。

— 杰弗里·欧文

1

这是另一种尝试，它比取消方法更稳定，但仍然不是很好。

$A$ $B = A^{-1}$

B_{i j} = b_{i + 1} \dots b_{j} \frac{d_{j + 1} \dots d_{n}}{δ_{i} \dots δ_{n}}

$B_{ij} = b_{i+1}\cdots b_j \frac{d_{j+1}\cdots d_n}{\delta_i \cdots \delta_n}$

$i \le j$ $b_i$ $d_i,\delta_i$ $UL$ $LU$ $A$ $i < j < k$

x_{j} = {(\begin{matrix} B_{j i} \\ B_{k i} \end{matrix})}^{T} {(\begin{array}{cc} B_{i i} & B_{i k} \\ B_{k i} & B_{k k} \end{array})}^{- 1} (\begin{matrix} x_{i} \\ x_{k} \end{matrix})

$x_j = \left(\begin{array}{c}B_{ji} \\ B_{ki}\end{array}\right)^T \left(\begin{array}{cc}B_{ii} & B_{ik} \\ B_{ki} & B_{kk}\end{array}\right)^{-1} \left(\begin{array}{c}x_i \\ x_k\end{array}\right)$

$i$ $k$ $i$ $k$ $2 \times 2$

[1]：Gerard Meurant（1992），“对称对角线和块三对角线矩阵逆的综述”。

— 杰弗里·欧文
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