有限元法和有限体积法之间的概念区别是什么？

有限差分法与有限体积法之间存在明显的区别（从方程的点定义到单元的积分平均值）。但是我发现FEM和FVM非常相似。它们都使用整数形式并且对单元进行平均。

FVM不能执行的FEM方法是什么？我已经阅读了一些关于FEM的背景知识，我知道方程式是用弱形式编写的，这使该方法的陈述点与FVM略有不同。但是，我不从概念上理解差异是什么。FEM是否对单元内部未知物的变化做出一些假设，FVM不能做到吗？

我主要来自1D角度，所以也许FEM在多个方面都具有优势？

我在网上没有找到太多有关此主题的信息。Wikipedia上有一节介绍了FEM与有限差分法的区别，http：//en.wikipedia.org/wiki/Finite_element_method#Comparison_to_the_finite_difference_method就是其中一部分。

有限元：体积积分，内部多项式

经典的有限元方法假定连续或弱连续的近似空间，并要求满足弱形式的体积积分。通过提高元素内的近似顺序，可以提高精度的顺序。这些方法不是完全保守的，因此对于不连续的过程经常要与稳定性作斗争。

有限体积：表面积分，不连续数据的通量，重构顺序

有限体积方法使用分段常数逼近空间，并要求针对分段常数测试函数求积分。这产生了精确的保护性陈述。体积积分将转换为表面积分，并根据这些表面积分中的通量来指定整个物理场。对于一阶双曲问题，这是黎曼求解。二阶/椭圆通量更微妙。通过使用邻居来（保守）重构元素内部状态的高阶表示（斜率重构/限制）或通过重构通量（通量限制），可以提高准确性的顺序。重建过程通常是非线性的，可控制解决方案的不连续特征周围的振荡，参见总变差减小（TVD）和本质上非振荡（ENO / WENO）的方法。非线性离散化是必要的，以便同时获得平滑区域中高于一阶的精度和不连续处的有界总变化，请参见戈杜诺夫定理。

评论

FE和FV都易于在非结构化网格上定义达到二阶精度。在非结构化网格上，有限元更容易超越二阶。FV可以更轻松，更可靠地处理不合格的网格。

结合FE和FV

该方法可以多种方式结合。不连续Galerkin方法是使用不连续基函数的有限元方法，因此获得了Riemann求解器，并且对不连续过程（尤其是双曲线）具有更高的鲁棒性。DG方法可以与非线性限制器一起使用（通常会降低精度），但是可以满足单元方向的熵不等式而不受限制，因此可以在不限制其他方案需要限制器的某些问题的情况下使用。（这对于基于伴随的优化特别有用，因为它使离散的伴随更能表示连续的伴随方程。）椭圆问题的混合有限元方法使用不连续的基函数，并且在选择了正交后，可以重新解释为标准有限体积方法。 ，请参阅此答案$P_N P_M$

FEM和FVM的概念差异与树木和松树之间的差异一样微妙。

如果将某个FEM方案与应用于特定问题的FVM离散化进行比较，则可以说基本差异在不同的实现方法和不同的近似属性中会变得很明显（如@Jed Brown在其答案中所述）。

但是总的来说，我会说FVM是FEM的特例，它使用单元格和分段常数测试函数。这种关系也可用于FVM的收敛分析，这可以在Grossmann，Roos和Stynes的书中找到：偏微分方程的数值处理。

基本区别只是结果的含义。FDM预测解决方案任何方面的点值。这些值之间的插值通常留给用户的想象力。FVM预测特定控制量内保守变量的平均值。因此，它预测了积分的守恒变量，可以证明收敛于弱（不连续）解。FEM给出了一组离散值，通过调用一组基函数，可以从各个离散值明确推导出一个近似解。通常，但不一定，涉及的变量是保守的。根据特定的正交规则，有可能在某种意义上是保守的有限差分方法。

这些都是定义问题。三种方法都有很多变化。并非每种方法都属于一种类型，具体细节因应用领域而异。发明一种新方法的研究人员采用了这些工具，这些工具将有助于提供他们正在寻找的特性。正如您似乎已经发现的那样，很难找到权威的讨论，而我也很难提供。我能提供的最佳建议是继续阅读，不要期待一个完全明确的答案，而要对您认为有意义的事情给予信任。