如何并行化求解网格方程组的多重网格方法？

据我了解，多重网格方法通过解决相同问题的较粗略版本（通过消除低频误差）来解决线性系统，然后投影回细网格以消除高频误差。对于大型系统，我可以看到如何在每个网格级别并行实现迭代方法。这种方法是否可以并行扩展？算法中是否还有其他并发源可供并行使用？

并行几何多重网格很容易在结构化网格上实现。代数和非结构化多网格技术性更高，请参见此答案以获取实现的链接。

在乘法方法（例如循环）中，一次只能计算一个级别。由于级别数是，其中是自由度数，是粗化因子（通常在维度上约为或），因此该对数项不可删除。添加剂的方法牺牲一些恒定的因素，但可以同时计算所有的水平，从而减少对数因子。我还没有看到在真实硬件上进行的演示，其中并发性的提高证明常数方法较差，而加法的健壮性却有所降低。$V$$\log_{c} N$$N$$c$$2^d$$3^d$$d$$\log_2 \log_c N$

高斯-塞德尔（Gauss-Seidel）是一种非常流行的平滑器，具有乘法功能，而且似乎无法有效并行化。对于结构化网格上的简单离散化，并且当不考虑内存带宽时，采用红黑高斯-赛德尔的经典解决方案是合理的。对于更复杂的问题和现代硬件，Adams（2001）展示了一种效率更高的算法。对于许多问题，在每个子域上使用独立的Gauss-Seidel的简单方法是完全令人满意的。Gauss-Seidel的替代方法是使用阻尼Jacobi或多项式平滑器，请参见Adams，Brezina，Hu和Tuminaro（2003）进行比较。这些平滑器的性能模型类似于任何其他模具计算，因此具有最佳的弱可伸缩性$\mathcal O (N/P)$ 足以覆盖延迟的子域。

实际上，粗网格可以迅速达到强大的可扩展性限制（超过此限制，添加更多进程会增加运行时间），因此它们应驻留在越来越小的MPI通信器上。这给实现增加了一些轻微的复杂性。对于其中粗级结构太多而无法继续进行粗化的问题，粗级求解可能会成为瓶颈。

为了测试各种并行的多重网格方法，我建议使用像PETSc这样的库，该库允许您用很少的用户代码运行许多不同的算法。