如何构造代数多重网格求解器的延长和限制算子？

我正在尝试求解一个稀疏但缺少任何带状结构的线性方程组。我听说，有一种方法可以将隐式有限差分方案的多网格求解器的原理扩展到一般的线性问题（如果我没记错的话，它称为代数多网格求解器）。在阅读了一些有关它的文献之后，我仍然很困惑如何在粗网格和精网格之间进行插值（即延长和限制），而没有像有限差分方案那样利用带状矩阵的精细结构。有启发式吗？谁能举个例子？

首先，如果您具有结构化网格，由于某些理论上和效率上的优势（例如，可以重新离散化而不是使用Galerkin粗网格算子），可能要使用几何而不是代数多重网格。代数多重网格方法通常分为两类。

古典代数多重网格

此方法由Brandt，McCormick和Ruge于1982年引入，对矩阵具有很强的理论。布兰特（1986）有标准的收敛理论。有关受欢迎且高度可扩展的并行实现，请参见Hypre软件包中的BoomerAMG。更强大且通用的变种称为Bootstrap AMG，请参阅Brandt，Brannick，Kahl和Livshits的最新论文。$M$

平滑的聚合

Vaněk，Mandel和Brezina（1996）提出的平滑聚合是一种较新的方法，已被证明可用于解决诸如弹性之类的向量问题。一般的方法是从描述算子近乎零空间的向量开始（例如，弹性的刚体模态），使用矩阵的连通性构造聚合（通常通过找到最大独立集），以及“平滑集合（使用运算符）以创建较低能量的粗基函数。流行的并行实现是ML从Trilinos，普罗米修斯从马克·亚当斯（2004年戈登贝尔奖），PCGAMG PETSc中$A^T A$（同样来自Mark Adams，主要是Prometheus的完整替代品），以及基于CUDA的GPU代码CUSP的平滑聚合组件。

请注意，可以使用PETSc通过公共接口访问上述所有软件。

Trottenberg等人撰写的“ Multigrid”是一本非常出色的书，看起来大部分都可以在Google图书中找到。它有关于AMG的附录，您可能需要从本书的其余部分中获得MG的一些背景知识。“ Multigrid教程”也是一本好书。

我建议WL Briggs，VE Henson和SF McCormick撰写的“ Multigrid教程”（2Ed）的第8章。它给出了一些重要概念（如代数平滑度和强依赖性）的总体思路。它还说明了如何定义插值运算符（也包括粗网格运算符）以及如何选择粗网格。