是否有处理五个以上维度的有限元软件？

我是FE的初学者。我的应用是空间为五维的金融衍生产品的定价。因此，增加时间，问题有六个方面。

我试图环顾四周（Fenics，escript，deal.II等），但我的理解是，这些软件限于3 + 1（3d空间+ 1d时间）。它是否正确？

我的目标语言是Python或C ++。

问题描述
我想对一种投资产品进行定价，每个月投资者都可以自由进行或不进行再投资。我想做到的是随机波动，随机利率和随机死亡率。
随机偏微分方程这个样子其中是相关的股票价格的时间依赖性常数，和是一个独立的Levy过程，其在股价噪声产生。类似地，对于其他量：是关联到波动的时间依赖量。让表示在时间允许的投资

\begin{aligned} d S_{t} & = μ_{t}^{S} d_{t} + \sqrt{σ_{t}} d B_{t}^{S} & (stock) \\ d σ_{t} & = μ_{t}^{σ} d t + ν_{t}^{σ} d B_{t}^{σ} & (volatility) \\ d r_{t} & = μ_{t}^{r} d t + ν_{t}^{r} d B_{t}^{r} & (interest rate) \\ d q_{t} & = μ_{t}^{q} d t + ν_{t}^{q} d B_{t}^{q} & (mortality) \end{aligned}

$\begin{align} dS_t &= \mu^S_t d_t + \sqrt{\sigma_t} dB^S_t &\text{(stock)}\\ d\sigma_t &= \mu^\sigma_t dt + \nu^\sigma_t dB^\sigma_t & \text{(volatility)} \\ dr_t &= \mu^r_t dt + \nu^r_t dB^r_t & \text{(interest rate)} \\ dq_t &= \mu^q_t dt + \nu^q_t dB^q_t & \text{(mortality)} \end{align}$

μ_{t}^{S}

$\mu^S_t$

S

$S$

B_{t}^{S}

$B^S_t$

S

$S$

ν_{t}^{σ}

$\nu^\sigma_t$

σ

$\sigma$

C_{τ}

$C_\tau$

τ

$\tau$ 。随机控制问题看起来像

上述PDE是连续的，但该产品的价值

V_{τ} = m a x {c \in C_{τ} : P (death) E (r_{τ} f (S_{τ + 1})) + P (a l i v e) E (r_{τ} V_{τ + 1})} .

$V_\tau = max \left\{ c \in C_\tau : P(\text{death})E(r_\tau f(S_{\tau+1})) + P(alive)E(r_\tau V_{\tau+1})\right\}.$

V_{τ}

$V_\tau$ 仅在预定的

（例如每个月）进行求解。

τ

$\tau$

我猜蒙特卡洛总是可以蛮力解决我的问题，但这非常缓慢。

随机PDE的确定性形式
对于这部分，假设选项的值是定义对天然时间而不是时间，其中是时间的投资。定义微分算子

V : (t, S_{t}, σ_{t}, r_{t}, q_{t}, c_{t}) \mapsto (t, V_{t}),

$V : (t, S_t, \sigma_t, r_t, q_t, c_t) \mapsto (t, V_t),$

t

$t$

τ

$\tau$

c_{t}

$c_t$

t

$t$

，其中随时间变化的恒定

被忽略。确定性PDE然后

其可以适应于最优控制问题的

-times。

\begin{aligned} L_{t} & = \partial_{r, S} + \partial_{r, σ} + \partial_{σ, S} \\ L_{t}^{S} & = σ_{t} \partial_{S} + r_{t} \partial_{S, S} \\ L_{t}^{r} & = \partial_{r} + \partial_{r, r} \\ L_{t}^{σ} & = \partial_{σ} + \partial_{σ, σ} \\ L_{t}^{q} & = \partial_{q} + \partial_{q, q} \end{aligned}

$\begin{align} L_t &= \partial_{r,S} + \partial_{r,\sigma} + \partial_{\sigma,S} \\ L^S_t &= \sigma_t \partial_S + r_t \partial_{S,S} \\ L^r_t &= \partial_r + \partial_{r,r} \\ L^\sigma_t &= \partial_\sigma + \partial_{\sigma,\sigma} \\ L^q_t &= \partial_q + \partial_{q,q} \end{align}$

{μ_{t}^{S}, \dots}

$\{\mu^S_t,\ldots\}$

\partial_{t} V_{t} + (L_{t} + L_{t}^{S} + L_{t}^{σ} + L_{t}^{r} + L_{t}^{q}) V_{t} = 0,

$\partial_t V_t +\left(L_t+ L^S_t + L^\sigma_t + L^r_t+L^q_t\right)V_t = 0,$

τ

$\tau$

pde finite-element

您确定需要为这个问题使用有限元吗？如果可以进一步描述问题（特别是要解决的PDE），这将有所帮助。

— 维克多·刘

@Liu我添加了更多详细信息。我虽然是关于FE的，因为MC非常慢。

v^{p}

$v^p$

p

$p$

我认为，如果您还发布要解决的确定性PDE，将会得到更好的答案。您能否阐明自变量是什么？现在看来，唯一的独立变量是时间。您是否正在使用多项式混沌展开来求解这些随机微分方程，这就是为什么您将拥有一个确定性微分方程系统的原因？

— Geoff Oxberry

一方面，您可能会处理在中等尺寸中使用有限元的复杂性以及尺寸的诅咒，或者您可以为MC或更好的QMC开发加速方法。后一个世界不一定会更糟，实际上，由于多种原因，它是定量世界中的选择方法，因此请谨慎使用它。

— 石英

Answers:

假设您要求解Black-Scholes方程或包含5个资产的投资组合的变体，那么您确实有5个空间加一个时间维度。我不知道有什么能做到这一点的FEM程序包（交易II很难做到，但请参阅下文），但我想我记得，苏黎世联邦理工学院的Chris Schwab小组的一些人解决了这种问题使用稀疏网格的问题。您可能会幸运地环顾他的出版物。

还有其他方程式具有额外的维度。一个示例是具有3个空间+ 1个时间+ 2个角+ 1个能量维的辐射传递方程。通常解决此问题的方法是像往常一样离散3维空间，然后离散化2维和1维网格上的角度和能量维，并且在空间网格的每个节点上，仅具有很多变量（每个变量一个角网格的每个节点乘以能量网格中的节点数）。我们在Deal.II实现中成功使用了该方案。这对于辐射传递方程是有意义的，即使您的方程不是自然的，也可以为您的方程进行仿真。

— 沃尔夫冈·邦格斯
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DUNE（分布式和统一数值环境）http://www.dune-project.org具有一些任意尺寸的结构化网格（SGrid和Yaspgrid），请参见DUNE的功能。当前，如果有兴趣的话，有一个分支可以将上述网格之一的yaspgrid转换为张量积网格。由于版本2.0（当前版本为2.2.1，不久将发布2.3），我们确实具有支持任意尺寸的各种有限元方法的参考元素。因此，应该可以使用离散化模块dune-pdelab建立任意尺寸的有限元离散化。尽管可能不会经常对此进行测试。

话虽如此，正如沃尔夫冈指出的那样，仍然存在维数的诅咒。

有关更多信息，请参考DUNE邮件列表。

— 马库斯·布拉特（Markus Blatt）
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好的，看来您拥有的是一组耦合的ODE，因为据我所知，关于时间只有导数，而没有其他任何东西。那里有很多用于解决任意维ODE系统的软件包（Matlab具有的东西ode45）。对于Python，请查看此问题以获取一些建议。最后，netlib上有旧的Fortran代码，可以很容易地与C ++交互（易于使用是另一回事）。自从我看了好一阵子（其他人都应该听见）以来，可能还有更好的选择。

— 刘维达
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通过添加确定性PDE，我发现我的问题不清楚。抱歉，谢谢您的帮助。