是否有用于优化连续超松弛（SOR）方法的试探法？

据我了解，通过选择参数并使用（准）Gauss-Seidel迭代和上一个时间步长的值的线性组合来进行连续过度松弛是有效的…… $0\leq\omega\leq2$

${u}^{k+1} = (\omega){u_{gs}}^{k+1} + (1-\omega)u^{k}$

我之所以说“准”，是因为包括随时根据此规则更新的最新信息。（请注意，在，这正是高斯塞德尔）。 ω=${u_{gs}}^{k+1}$$\omega=1$

无论如何，我已经读到最优选择（这样迭代的收敛速度比其他任何方法都快）在空间分辨率接近零时针对泊松问题接近2。其他对称的，对角占优的问题是否存在类似的趋势？也就是说，有没有一种方法可以在不将其嵌入到自适应优化方案中的情况下最佳地选择omega？对于其他类型的问题，还有其他启发式方法吗？松弛不足（）最适合哪种问题？ω < $\omega$$\omega<1$

阻尼雅可比

假设矩阵具有对角线。如果的光谱位于正实轴的间隔中，则阻尼因子为的Jacobi迭代矩阵 光谱范围为，因此使用最小化光谱半径可得出收敛因子 如果，则该收敛因子非常差，如预期的那样。注意，估计相对容易d d - 1名阿[ 一，b ] ω 乙雅可比 = 我- ω d - 1阿[ 1 - ω b ，1 - ω 一个] ω 选择 = $A$$D$$D^{-1}A$$[a,b]$$\omega$

$$B_\text{Jacobi} = I - \omega D^{-1} A$$ $[1 - \omega b,1 - \omega a]$ ρ选择=1-2 $$\omega_{\text{opt}} = \frac 2 {a + b}$$ 一个«bb $$\rho_\text{opt} = 1 - \frac{2a}{a+b} = \frac{b-a}{a+b}.$$ $a \ll b$$b$使用Krylov方法，但估算相当昂贵。$a$

连续过度松弛（SOR）

Young（1950）证明了将SOR应用于具有属性A，一致的有序性和正实特征值为正的矩阵的最佳结果。给定无阻尼Jacobi迭代矩阵的最大特征值（在这种情况下，假设保证），则SOR的最佳阻尼系数为 ，导致收敛速度为 请注意，当时，接近2 。μ $D^{-1}A$$\mu_\max$$I - D^{-1} A$$\mu_\max < 1$

$$\omega_\text{opt} = 1 + \left( \frac{\mu_\max}{1 + \sqrt{1 - \mu_\max^2}} \right)^2$$ $$\rho_\text{opt} = \omega_\text{opt} - 1.$$ $\omega_\text{opt}$$\mu_\max \to 1$

注释

现在已经不是1950年了，使用固定的迭代方法作为求解器真的没有意义。相反，我们将它们用作多网格的平滑器。在这种情况下，我们只在意频谱的高端。在SOR中优化松弛因子会使SOR产生很少的高频阻尼（以换取在较低频率上更好的收敛性），因此通常最好使用标准的Gauss-Seidel，对应于SOR中的。对于非对称问题和系数高度可变的问题，松弛度较低的SOR（）可能具有更好的阻尼特性。$\omega = 1$$\omega <1$

估计两个特征值都很昂贵，但是可以使用一些Krylov迭代快速估计最大特征值。多项式平滑器（使用Jacobi预处理）比阻尼Jacobi的多次迭代更有效，并且更易于配置，因此应首选。有关多项式平滑器的更多信息，请参见此答案。$D^{-1}A$

有时有人声称SOR不应用作Krylov方法（例如GMRES）的前提条件。这是因为观察到最佳松弛参数应将迭代矩阵所有特征值放在一个圆上以原点为中心。预处理算子的频谱（

$$B_\text{SOR} = 1 - \left(\frac 1 \omega D + L\right)^{-1} A$$ $(\frac 1 \omega D + L)^{-1} A$在半径相同但以1为中心的圆上具有特征值。对于条件差的算子，圆的半径非常接近1，因此GMRES会在一定角度范围内看到接近原点的特征值，通常不好为了收敛。实际上，在使用SOR进行预处理时，GMRES可能会合理收敛，尤其是对于已经相当好的条件的问题，但其他预处理器通常更有效。