用有限体积法将Dirichlet边界条件应用于泊松方程。

我想知道在以单元为中心的非均匀网格上使用有限体积方法时通常如何应用Dirichlet条件，

我目前的实现只是在确定第一个单元格的值时施加了边界条件，

$$\phi_1 = g_D(x_L)$$

其中是可变的解决方案和克d（X 大号）是在域的LHS狄利克雷边界条件值（NB X 大号 ≡ X 1 / 2）。但是，这是不正确的，因为边界条件应固定像元面的值而不是像元本身的值。我真正应该适用的是$\phi$$g_D(x_L)$ $x_L \equiv x_{1/2}$

$$\phi_{L} = g_D(x_L)$$

例如，让我们求解泊松方程，

$$0 = (\phi_x)_x + \rho(x)$$

有初始条件和边界条件

$$\rho=-1\\ g_D(x_L)=0 \\ g_N(x_R)=0$$

（其中是右侧的Neumann边界条件）。$g_N(x_R)$

注意数值解法如何将单元格变量的值固定为左侧的边界条件值（）。这具有向上移动整个解决方案的影响。通过使用大量的网格点可以使影响最小化，但这并不是解决问题的好方法。$g_D(x_L)=0$

题

使用有限体积法时，将以何种方式应用Dirichlet边界条件？我假设我需要通过使用ϕ 0（幻影点）或ϕ 2进行插值或外推来固定的值，以便经过这些点的直线在x L处具有所需的值。您是否可以提供任何指导或示例，说明如何对以单元为中心的非均匀网格进行此操作？$\phi_1$$\phi_0$$\phi_2$$x_L$

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更新资料

这是我尝试使用您建议的幻像细胞方法，看起来合理吗？

该方程对于细胞是（其中˚F表示的磁通φ），$\Omega_1$$\mathcal{F}$$\phi$

$$\mathcal{F}_{3/2} - \mathcal{F}_{L} = \bar{\rho}$$

我们需要写在使用影细胞的边界条件方面Ω 0，$\mathcal{F}_{L}$$\Omega_0$

$$\mathcal{F}_{L} = \frac{\phi_1 - \phi_0}{h_{-}} \quad\quad \text{[1]}$$

$\phi_0$$\Omega_0$$\Omega_1$$x_L$$g_D(x_L)$

$$g_D(x_L) = \frac{h_1}{2h_{-}}\phi_0 + \frac{h_0}{2h_{-}}\phi_1 \quad\quad \text{[2]}$$

$\phi_0$$\mathcal{F}_L$$\phi_1$$g_D(x_L)$

$$\mathcal{F}_L = \frac{1}{h_{{-}}} \left(\phi_{1} - \frac{1}{h_{1}} \left(2 g_{D} h_{{-}} - h_{1} \phi_{1}\right)\right)$$

$h_0 \rightarrow h_1$

$$\mathcal{F}_L = -\frac{2 g_{D}}{h_{1}} + \frac{2 \phi_{1}}{h_{{-}}}$$

$\Omega_0$$\Omega_1$$h_{-}\rightarrow h_1$

$$\mathcal{F}_L = \frac{2}{h_{1}} \left( \phi_1 - g_D \right)$$

但是，这种方法恢复了不稳定的定义，所以我不太确定如何进行？我是否正确解读了您的建议（@Jan）？奇怪的是，这似乎可行，请参阅下文，

见下文，它有效，

$$\overline \Omega_i \cap \Gamma_D = 0 \quad \quad (*)$$ $\mathbb R^{n-1}$$\Omega \subset \mathbb R^n$

$$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{1/2} = \frac{2}{h_1}\Bigl(\phi_1-\phi_{1/2}\Bigr) \quad \quad (**)$$ $(**)$$(**)$

Grossman＆Roos已针对网格证明了泊松问题的稳定性和收敛性（在离散最大范数中为一阶），网格具有明显的边界单元，且其“中心”位于实际边界上，如我在一维情况下的绘图所示。

在此，接口上的微商以直截了当的方式近似。

我说幽灵细胞是常见的方法，这有两个原因。

• 他们模仿了我的图纸中描述的稳定情况，但带有插值边界条件
• 它们只是附着在物理边界上。因此，人们可以使用域的三角剖分，这也是有利的，因为人们通常还拥有直接施加在界面上的自然BC [ Grossmann＆Roos，p。1。101]。

$\phi_0$$\phi_0$$\phi_1$$g_D$

$\phi_1-\frac{\phi_2-\phi_1}{x_2-x_1}(x_1-x_0)=0$$x_0$$x_i$$\phi_i$$\phi_1$$\phi_2$$\phi_1$

您在这里找到的是为什么有限体积不经常用于构成Dirichlet条件的椭圆方程。它们用于自然保护法，其中更自然的条件用通量来表示。

$$\frac{d^2 \phi}{dx^2} = f$$ $$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{3/2}-\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{1/2} = \int_{x_{1/2}}^{x_{3/2}}f\, dx$$ $$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{3/2} = \frac{\phi_2-\phi_1}{h_+}$$

$(d\phi/dx)_{1/2}$$\phi_{1/2}$$x_{1/2}$$x_1$$x_2$$h$

$$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{1/2} = \frac{1}{h}\Bigl(-\frac{1}{3}\phi_2+3\phi_1-\frac{8}{3}\phi_{1/2}\Bigr)$$ $$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{1/2} = \frac{2}{h_1}\Bigl(\phi_1-\phi_{1/2}\Bigr)$$

当然，还需要检查的一件事是边界处二阶近似的离散化的稳定性。我不知道该如何结合内部居中的二阶近似值来稳定它。基质稳定性分析可以肯定地告诉您。（实际上，我可以确定边界处的一阶逼近将是稳定的。）

您提到了使用幻影点的可能性。这导致您需要从内部推断到幻影点并在此过程中使用bc的问题。我怀疑，但尚未“证明”它，至少有一些重影点处理等效于使用我上面概述的那种方法。

希望这会有所帮助。