在非均匀网格（仅一维）有限体积法上求解泊松方程时的奇异误差

最近几天，我一直在尝试调试此错误，我想知道是否有人建议如何进行操作。

我正在求解泊松方程，用于非均匀有限体积网格上的阶跃电荷分布（静电/半导体物理学中的常见问题），其中未知数定义在单元中心，并且通量在单元面上。

0 = (ϕ_{x})_{x} + ρ (x)

$0 = (\phi_x)_x + \rho(x)$

收费资料（来源条款）由

ρ (x) = {\begin{cases} - 1, & if - 1 \leq x \leq 0 \\ 1, & if 0 \leq x \leq 1 \\ 0, & otherwise \end{cases}

$\rho(x)= \begin{cases} -1,& \text{if } -1 \leq x \leq 0\\ 1,& \text{if } 0 \leq x \leq 1\\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$

边界条件是

ϕ (x_{L}) = 0 \frac{\partial ϕ}{\partial x} |_{x_{R}} = 0

$\phi(x_L)=0 \\ \frac{\partial\phi}{\partial x}\bigg|_{x_R}=0$

而域是 $[-10,10]$ 。

我正在使用为解决平流扩散反应方程式而开发的代码（我写了自己的文章，请看http://danieljfarrell.github.io/FVM）。对流扩散反应方程是泊松方程的一个更一般的情况。实际上，可以通过将对流速度设置为零并消除过渡项来恢复泊松方程。

该代码已针对均匀，不均匀和随机网格的多种情况进行了测试，并始终为advection-diffusion-reaction方程产生合理的解决方案（http://danieljfarrell.github.io/FVM/examples.html）。

为了显示代码在哪里崩溃，我做了以下示例。我设置了一个包含20个单元的均匀网格，然后通过移除单个单元使其不均匀。在左图中，我删除了单元格 $\Omega_8$ 在右边 $\Omega_9$ 已被删除。第9个单元格覆盖源项（即费用）更改符号的区域。当在反应项改变符号的区域中网格不均匀时，将出现错误。如下所示。

有什么想法可能导致此问题吗？让我知道关于离散化的更多信息是否有帮助（我不想在这个问题中加入太多细节）。

求解泊松方程时的奇异误差

discretization finite-volume poisson

— Boyfarrell
source

您能指定如何施加Dirichlet条件吗？

x = 0

$x=0$ ，以及您的意思是

ρ = - 1

$\rho = -1$ 作为初始条件（方程式不是您指定的稳态）吗？

— 陈

反应项是什么样的？

— 2013年

您使用什么方案来近似源项的积分？此行为也可能是由于源采样不足引起的。（可能是@JLC的答案中提到的相同机制。）

— 1

我已更新问题以使用标准术语。我有一个来源词（

ρ

$\rho$ ）不是反应项，因为正如您所指出的，我们只需要稳态值即可。正确的空间依赖性

ρ

$\rho$ 现在给出（初始值不正确）。

— boyfarrell 2013年

@JLC Dirichlet BC是使用幻影单元方法强加的（有关该实现的详细信息，我在网上的笔记已经过时了），有关如何执行的信息，请参见此处，scicomp.stackexchange.com

— questions /

Answers:

顺便说一句，您的github文档很棒。

这只是DG方法的一个猜测，如果不仔细选择数值通量，则可能会有类似的问题（我认为FV方法是DG方法的子集）。如果要使用像元中心的插值来定义通量，则这应等效于将平均值用作DG中的数字通量并使用分段常数。对于用于Poisson的标准DG方法，这会导致数值上的非唯一解-您可以为离散运算符获得一个非平凡的空空间，我认为这是导致第二个示例出现问题的原因。请从DG方面查看该DG论文的理论。

我将尝试模拟FV的示例，以显示其作用。

编辑：所以这是个小例子。考虑其中的单元格1-9和11-20 $\rho(x) = 0$ 。从右侧（11-20），我们有 $f(x_{20}) = 0$ 由于诺伊曼条件，这告诉我们从那个细胞的守恒 $f(x_{19}) = \ldots = f(x_{11}) = 0$ 。由于通量是像元值的平均值，所以这告诉我们 $\phi(x)$ 在所有这些单元格上都是常数

从左侧（1-9），我们有 $f(x_{i+1})-f(x_i) = 0$ 。如果 $f(-10) = 0$ 然后我们使用鬼细胞 $f(-10) = \phi_{9.5} - \phi_{\rm ghost} = \phi_{9.5}$ 。在接下来的几个单元格中的保守性使 $f(x_i) = f(-10) = \phi_{9.5}$ （即恒定斜率）。但是，请注意，这可以是任何斜率，也可以是恒定的。

问题出在中间单元。就像Jan提到的那样，您对第二个网格中的强制进行了欠采样。这会使此时的平衡方程式偏离，给您一个误差 $f(10)$ ，然后向后传播并弄乱了域左半部分的斜率以及的值 $\phi(9.5)$ 。

这种对强制错误的敏感性是有问题的-与FEM或FD方法不同，该方法在以下位置显式实施Dirchlet条件： $x=-10$ ，FV使用重影节点弱地实施它。直观上，重影节点的弱拼版就像在您的左边界处设置了诺依曼条件。如果对于扩散问题您有两个诺伊曼条件，则您的问题是不适当的，并且具有非唯一解（您可以向该问题添加任何常数，但仍然具有解）。在这里，您在离散级别上并不能完全做到这一点，但是您确实获得了非常敏感且依赖于网格的行为，就像在实验中看到的那样。

— 陈esse
source

从实验中，我可以证明FVM方法仅在源函数不连续（符号变化）两侧的单元具有相等的体积时才稳定。您的分析会同意吗？这意味着我必须更加注意生成我以前所做的问题的合理网格。也许我接下来应该考虑学习FEM方法？

— boyfarrell

相关文章，尽管我不太了解所有细节，但jstor.org/discover/10.2307/2157873

— boyfarrell 2013年

所述FVM方法是唯一的稳定在这种情况下当电网与源函数以某种方式排列。如果您的源函数发生了变化，那么您将不得不再次调整网格。我认为生成明智的网格不是解决此问题的正确方法-您的方法很不稳定。

— 陈

这是一个很好的发现。苏莉是一位扎实的分析师。我会说学习FEM可能很有趣，但是FD也应该适用于任何椭圆一维问题。您可能还会看到FV人员所做的事情（可能用惩罚项来增加通量）以使通用网格上的二阶椭圆问题收敛。数学上的民间智慧通常说FV /上偏FD适用于双曲型问题，而FEM /中心差分FD适用于椭圆型。

— 陈

我正在修正这个问题。重新阅读您的答案，我必须说这太棒了！我认为您的观点是方法应该更改，因为这是问题的根源（而不是网格）。对于这种情况下如何更好地估算通量，您是否有任何建议或可以遵循的建议（非专家可以接受）。即以可能使其更稳定的方式。如果可能的话，我想为这个方程式找到更好的FVM。

— boyfarrell 2013年

首先要注意的是您的边界条件。由于可以更改斜率和值，因此没有Dirichlet条件，也没有Neumann条件。

那么，每条直线都是右手边为零的解。你有那部分。

您的通量可能取决于 $h$ 。你使用正确吗 $h$ 在哪里消除细胞？

— 吉多·坎沙特（Guido Kanschat）
source

不，那是不正确的。这个问题提出来了。对于这种情况

ρ \equiv 0

$\rho \equiv 0$ 只要

ϕ \equiv 0

$\phi \equiv 0$ 是一种解决方案，没有其他线性函数在一点处为零而在第二点处具有零斜率。

— 2013年