差异有限的实体力学：如何处理“角节点”？

我有一个关于编码固体力学边界条件（线性弹性）的问题。在特殊情况下，我必须使用有限差分（3D）。我对这个话题非常陌生，因此以下一些问题可能非常基础。

为了导致我的特定问题，首先，我想展示一下我已经实现的内容（为清楚起见，我将仅使用2D）。

1.）我有下列离散$div(\sigma) = 0$，表示发散的第一组分$\frac{\partial\sigma_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial\sigma_{xy}}{\partial y} = 0$：

我使用非交错网格，因此Ux和Uy定义在同一位置。

2.）下一步是处理边界，在这里我使用“鬼节点”。根据$\sigma \bullet n = t^*$，其中$t^*$是边界上的应力。

$(\lambda + 2\mu)\frac{\partial U_x}{\partial x} + \lambda \frac{\partial U_y}{\partial y} = \sigma_{xx}^*$$\sigma_{xx}^*$

$\mu\frac{\partial U_x}{\partial y} + \mu \frac{\partial U_y}{\partial x} = \sigma_{xy}^*$$\sigma_{xy}^*$

3.）我认为到目前为止，我的所有步骤似乎都是合乎逻辑的，如果没有，请纠正我。但是现在还有“角节点”，我不知道如何处理它们。

$div(\sigma) = 0$

所以我的问题是处理这些“角节点”的正确方法是什么？我为每个想法感到高兴。

我在拐角边界条件上也遇到了类似的问题，特别是在横向施加压力均匀的情况下解决结构板的问题。特别是如果试图获取边缘（包括拐角）的剪切载荷。剪切载荷是∂^ 3 w /∂^ 2x∂y的函数。使用中央差分方案，这将导致需要拐角节点对角线的“重影”节点来确定此导数。我不认为基于相邻节点进行平均是合适的。我所做的是使用我在拐角节点处计算出的扭转力矩Mxy，并将其等于扭转力矩的有限差分“分子”，它是位移的函数。由于我已经知道所有其他相邻节点的位移（基于沿着板边缘的边界条件），因此解决此“棘手”角节点很简单。我希望这会有所帮助。

您可能正在尝试求解没有唯一解的方程组。想象一下，有一堆由弹簧连接的节点，它们漂浮在空间中，并且想要找到每个节点的平衡位置。如果系统未固定在固定的物体上（或未施加力），则有许多可能的解决方案。任何一种解决方案都可以始终平移或旋转，并且仍然是一种解决方案。您是否尝试过在一个角节点处固定位移以消除平移，在另一个角处固定一个位移以消除旋转？

我曾经尝试过这种方法，可以固定一些节点并在其他节点上调整法向力，但是它似乎将大量的力集中在各个边界节点上，从而导致不稳定。最终的工作是不尝试仅锚定几个节点，而是锚定相对于均匀应变的所有节点。本质上，您要对整个系统进行均匀应变，然后在每个节点的局部应变定义中包含均匀分量，因此它不会贡献任何额外的弹性能。您可以在本文和引用的参考文献中了解更多信息：http : //pubs.acs.org/doi/abs/10.1021/nn204177u。

如果可能，此不稳定性问题可能是为力学问题选择有限元的一个很好的理由。