计算精度高的振荡系列？

假设我有以下有趣的函数：它具有一些令人不愉快的特性，例如其导数在有理倍数下不是连续的。我怀疑不存在封闭表格。

f (x) = \sum_{k \geq 1} \frac{\cos k x}{k^{2} (2 - \cos k x)} .

$f(x) = \sum_{k\geq1} \frac{\cos k x}{k^2(2-\cos kx)}.$

π

$\pi$

我可以通过计算部分和并使用Richardson外推法对其进行计算，但是问题是，将函数计算为足够的十进制数字太慢（例如100会很好）。

有没有一种方法可以更好地处理此功能？

这是带有一些伪像的： $f'(\pi x)$

$函数的导数$ f'（\ pi x）$$

convergence extrapolation

— 基里尔
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也许您可以使用的事实，其中是切比雪夫多项式。然后，总和开始看起来像一系列有理多项式。然后，如果您可以在Chebyshev基础上将级数转换为有理多项式，则可以使用一种非常有效的方法对其进行总结。如果您不熟悉Chebyshev多项式和基础，则C语言的数字食谱具有很好的入门知识，以及以下内容：www2.maths.ox.ac.uk/chebfun/ATAP/ATAPfirst6chapters.pdf

c o s (k x) = T_{k} (x)

$cos(kx) = T_k(x)$

T_{k} (x)

$T_k(x)$

— Jay Lemmon

er，应该说

c o s (k x) = T_{k} (c o s (x))

$cos(kx) = T_k(cos(x))$

— 杰伊·莱蒙

@JayLemmon谢谢您的链接。我看一下是否有帮助。

— Kirill 2014年

我参加这个聚会有点晚了，但是您是否尝试过使用Padé近似值，即 -Algorithm而不是Richardson外推法？

ε

$\varepsilon$

— 2014年

与高振荡积分的情况类似，我认为如果不了解振荡部分和非振荡部分之间的分离，您将无法做好工作。如果您有这样的分离，则傅立叶级数的答案将使您轻松实现指数收敛。

— 2014年

Answers:

g (x) = \frac{\cos x}{2 - \cos x}

$g(x) = \frac{\cos x}{2-\cos x}$

2 π

$2 \pi$

g (x) = \sum_{j} w_{j} e^{i j x}

$g(x) = \sum_j w_j e^{ijx}$

w_{j} = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} g (x) e^{- i j x} d x

$w_j = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} g(x) e^{-ijx} dx$

\begin{aligned} f (x) & = \sum_{k \geq 1} \frac{g (k x)}{k^{p}} \\ = \sum_{k \geq 1} \frac{1}{k^{p}} \sum_{j} w_{j} e^{i j k x} \\ = \sum_{j} w_{j} \sum_{k \geq 1} \frac{{(e^{i j x})}^{k}}{k^{p}} \\ = \sum_{j} w_{j} {Li}_{p} (e^{i j x}) \end{aligned}

$\begin{aligned} f(x) &= \sum_{k \ge 1} \frac{g(kx)}{k^p} \\ &= \sum_{k \ge 1} \frac{1}{k^p} \sum_j w_j e^{ijkx} \\ &= \sum_j w_j \sum_{k \ge 1} \frac{\left(e^{ijx}\right)^k}{k^p} \\ &= \sum_j w_j \operatorname{Li}_p(e^{ijx}) \end{aligned}$

w_{j}

$w_j$

f (x)

$f(x)$

g (x)

$g(x)$

R

$\mathbb{R}$

— 杰弗里·欧文
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g (x) = \cos (x) / (2 - \cos (x))

$g(x) = \cos(x) / (2 - \cos(x))$

$x = 2\pi a/b$ $a,b$

\begin{aligned} f (x) & = \sum_{k \geq 1} \frac{\cos k x}{k^{2} (2 - \cos k x)} \\ = \sum_{k = 1}^{b} \frac{\cos k x}{2 - \cos k x} \sum_{n \geq 0} \frac{1}{(k + b n)^{2}} \\ = \sum_{k = 1}^{b} \frac{\cos k x}{2 - \cos k x} \frac{ψ^{1} (k / b)}{b^{2}} \end{aligned}

$\begin{aligned} f(x) &= \sum_{k \ge 1} \frac{\cos {kx}}{k^2 (2 - \cos {kx})} \\ &= \sum_{k=1}^b \frac{\cos {kx}}{2-\cos {kx}} \sum_{n \ge 0} \frac{1}{(k+bn)^2} \\ &= \sum_{k=1}^b \frac{\cos {kx}}{2-\cos {kx}} \frac{\psi^1(k/b)}{b^2} \end{aligned}$

ψ^{1} (z)

$\psi^1(z)$ 该系列的价值和衍生产品

— 杰弗里·欧文
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谢谢。问题是我选择了这个特定功能作为我实际上想评估的另一个更复杂功能的模型，该功能具有相似的功能，但实际上并不相同。我知道MSE上此问题的封闭形式。我的意思是，这是一个对不带封闭形式的无穷级数进行求和的问题。

— Kirill 2014年

也许我的其他答案更好？

— 2014年

如何对莱U型转化？除了Fortan代码外，GSL中还有多个版本：`gsl_sum_levin_u *'。Matlab的MuPAD和Maple使用此方案。

— 霍希勒
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我尝试过，但我发现Richardson外推法更准确。

— 基里尔