从3D中Delaunay镶嵌衍生的图形的枚举

是否有一种算法可以枚举与3D点中的点Delaunay细分相关的图形？

如果是这样，是否存在与任何“ Delaunay图”相对应的几何形状的有效参数化？

我希望系统地枚举指定组成的分子的所有稳定几何形状，而无需任何先验的结合等知识。

编辑：令为具有个顶点的图形集。令是的个点到对应于3D中所述点的Delaunay细分的图的映射。 $G_N$ $N$ $D: \mathbb{R}^{3N} \to G_N$ $N$ $\mathbb{R}^3$

如何有效地枚举）？ $D(\mathbb{R}^{3N})$

此外，给定一个图，如何有效地参数化）？ $g\in G_n$ $D^{-1}(g)$

编辑：2D中的示例：对于4点，有2个Delaunay图。

\begin{matrix} 1 & - & 2 & - & 3 \\ ╲ & | & ╱ \\ 4 \end{matrix} and \begin{matrix} 1 & - & 2 \\ | & \times & | \\ 3 & - & 4 \end{matrix}

$\begin{matrix} 1 & - & 2 & - & 3 \\ &\diagdown &| & \diagup\\ &&4 \end{matrix}\mbox{ and } \begin{matrix} 1 & - & 2\\ |& \times & |\\ 3 & - & 4 \end{matrix}$

或以明确的平面方式显示：

2点的2D Delaunay图

这些图的第一个可以通过点1、2和4的任意位置来参数化，即，而点3可以是任意点，其中大于半径以点和为中心的外接点1、2和4的圆是点的位置。 $\mathbb{R}^{3\times 3}$ $x_3(r,\theta)=c(x_1,x_2,x_4) + r\left(\begin{array}{c} \cos(\theta) \\ \sin(\theta)\end{array}\right)$ $r$ $c(x_1,x_2,x_4)$ $x_i$ $i$

algorithms computational-chemistry delaunay-triangulation

— 死气
source

“有效的几何参数化”是什么意思。另外，我不是化学家，所以“特定组成分子的稳定几何形状”是什么意思？稍微澄清一下，这可能很容易回答。

— Gareth A. Lloyd

对于3D一般位置上的个点，存在独立的自由度（质心为，旋转主轴为另外3度）。每个这样的集合都有一些Delaunay镶嵌。我想颠倒这个过程：给定Delaunay镶嵌，我想要对所有点集进行参数化，这将导致这种Delaunay镶嵌。稳定的几何形状是一组空间中的个点，具有相关的正权重，对于这些负权重，能量功能局部最小。

N

$N$

3 N - 6

$3N-6$

3 N - 3

$3N-3$

N

$N$

N

$N$

— Deathbreath

您是否要查找所有可能的Delaunay三角剖分？你能澄清一下吗？您对此表示赞赏，但我感到这个问题对于许多人来说仍然不清楚。

— Szabolcs '02

@Szabolcs：我希望编辑可以解决问题。

— Deathbreath '02

@Deathbreath一点点......我的理解对不对，你需要找到可以对应的Delaunay三角所有图表一些一套在三维点？你能举一个具体的例子吗？例如，在2个点的2D中，是否需要图形和（忽略共线点）？（在我的符号中，数字表示顶点，数字对边缘。）

N

$N$

(12, 23, 31, 24, 43)

$(12, 23, 31, 24, 43)$

(12, 23, 31, 14, 24, 34)

$(12, 23, 31, 14, 24, 34)$

— Szabolcs，2012年

在Hartvigsen，D .：使用线性编程识别Voronoi图时，提出了几种基于线性编程的算法来识别Voronoi卫星图，并指出

对于Voronoi图的每个，包含在某个生成集中的中的点集要么是单例，要么是多面体内部。 $R_i$ $R_i$ $P$

似乎在冬季，LG也提出了反Voronoi问题解的存在性和唯一性的主题：Voronoi图的反问题。

— 阿斯特罗胡安路
source

由于镶嵌（Voronoi或Delaunay）的平移和旋转不变，因此只有自由度相关（如果点在一条直线上则为）。我的意思是Delaunay四面体化（或更笼统地说是镶嵌）。映射，其中是具有个顶点的图形集，该图形将3D中的个点集映射到与Delaunay 镶嵌关系相对应的图形，并具有理论上的逆。我认为您的答案是：a）不能有效地计算，b）（）都不有效吗？

3 N - 6

$3N-6$

3 N - 5

$3N-5$

D : R^{3 N} \to G_{N}

$D: \mathbb{R}^{3N} \to G_N$

G_{N}

$G_N$

N

$N$

N

$N$

D^{- 1} : G_{N} \to P (R^{3 N - 6})

$D^{-1}: G_N\to P(\mathbb{R}^{3N-6})$

D (R^{N})

$D(\mathbb{R}^N)$

D^{- 1} (g)

$D^{-1}(g)$

g \in G_{N}

$g\in G_N$

— Deathbreath '02

在了解了您的担忧并进行了一些研究之后，我发现了一些潜在有用的资源。请注意，尽管我看不到它们的全文本。

— astrojuanlu 2012年

这些是有趣的参考。我将把图书馆的复印件交给我。

— 死息2012年

看来这些参考文献比预期难获得。

— Deathbreath '02

无论如何，谢谢您的悬赏，我希望它们对您有所帮助。

— astrojuanlu 2012年