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迭代方法在对角占优矩阵上的安全应用
假定以下线性系统为 ，其中是已知为正定的加权Laplacian ，其一维零空间跨度为，的平移方差，即不会改变函数值（其导数为）。的唯一正项在其对角线上，这是负非对角线项的绝对值的总和。Lx=c,(1)(1)Lx=c,Lx=c,\tag1LLLsemi−semi−semi-1n=(1,…,1)∈Rn1n=(1,…,1)∈Rn1_n=(1,\dots,1)\in\mathbb{R}^nx∈Rnx∈Rnx\in\mathbb{R}^{n}x+a1nx+a1nx+a1_n(1)(1)(1)LLL 我发现一个高引用率在该领域的学术工作，虽然是对角占优，仍然可以安全使用，如共轭梯度，高斯-塞德尔，雅可比，的方法来解决。的理由是，由于平移不变的，一个是安全的一个固定点（例如，移除第一行和列和从第一个条目），从而转换到一个对角占优矩阵。无论如何，用以的完整形式求解原始系统。LLLnot strictlynot strictlynot~strictly(1)(1)(1)LLLcccLLLstrictlystrictlystrictly(1)(1)(1)L∈Rn×nL∈Rn×nL\in\mathbb{R}^{n\times n} 这个假设是正确的吗？如果是，替代的理由是什么？我试图了解方法的收敛性如何。 如果Jacobi方法与收敛，那么关于迭代矩阵的谱半径，在是对角矩阵且对角线中有对角矩阵，有什么状态？是，因此从一般的收敛担保不同的？我问这个，因为的特征值对角线上带有拉普拉斯矩阵应当在范围内。(1)(1)(1)ρρ\rhoD−1(D−L)D−1(D−L)D^{-1}(D-L)DDDLLLρ(D−1(D−L)≤1ρ(D−1(D−L)≤1\rho(D^{-1}(D-L)\leq1ρ(D−1(D−L))<1ρ(D−1(D−L))<1\rho(D^{-1}(D-L))<1D−1LD−1LD^{-1}L[0,2][0,2][0, 2] 从原始作品来看： .................................................... 在每次迭代中，我们通过求解以下线性系统来计算新的布局（x（t +1），y（t + 1））： 在不失一般性的前提下，我们可以固定以下位置之一传感器（利用局部应力的平移自由度）并获得严格对角的主导矩阵。因此，我们可以安全地使用Jacobi迭代来求解（8）L⋅x(t+1)=L(x(t),y(t))⋅x(t)L⋅y(t+1)=L(x(t),y(t))⋅y(t)(8)(8)L·x(t+1)=L(x(t),y(t))·x(t)L·y(t+1)=L(x(t),y(t))·y(t) L · x(t + 1) = L(x(t),y(t)) · x(t) \\ L · y(t + 1) = L(x(t),y(t)) · y(t) \tag 8 ................................................... 在上文中，“迭代”的概念与底层最小化过程有关，不要与Jacobi迭代相混淆。因此，该系统由Jacobi（迭代）求解，然后将该解决方案购买到（8）的右侧，但是现在进行底层最小化的另一次迭代。我希望这可以澄清问题。 请注意，我发现哪个迭代线性求解器对正半定矩阵收敛？，但正在寻找更详尽的答案。