逆Wishart分布矩阵的对角线的边际分布

假设。我对对角元素的边际分布感兴趣。关于的子矩阵的分布有一些简单的结果（至少有一些列在Wikipedia上）。由此我可以看出，对角线上任何单个元素的边际分布都是反伽玛。但是我一直无法推断出联合分布。 $X\sim \operatorname{InvWishart}(\nu, \Sigma_0)$ $\operatorname{diag}(X) = (x_{11}, \dots, x_{pp})$ $X$

我认为也许可以通过合成来得出，例如：

p （ X_{11} | X_{一世 一世} ， 一世 > 1个 ） p （ X_{22} | X_{一世 一世} ， 一世 > 2 ） \dots p （ X_{（ p - 1个 ） （ p - 1个 ）} | X_{p p} ） p （ X_{p p} ） ，

$p(x_{11} | x_{ii}, i\gt 1)p(x_{22}|x_{ii}, i>2)\dots p(x_{(p-1)(p-1)}|x_{pp})p(x_{pp}),$

但是我从没有得到任何帮助，并且进一步怀疑我缺少简单的东西；似乎已经知道这个“应该”，但是我一直无法找到/显示它。

distributions probability pdf

— JMS
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Bilodeau和Brenner的7.9号提案（pdf可在网上免费获得）为Wishart带来了令人鼓舞的结果（也许对Wishart逆向者有影响）。如果将

划分

X

$X$ 为

X_{11}, X_{12}; X_{21}, X_{22}

$X_{11},X_{12};X_{21},X_{22}$ ，则

X_{22}

$X_{22}$ 是Wishart，

X_{11} - X_{12} X_{22}^{- 1} X_{21}

$X_{11} - X_{12}X_{22}^{-1}X_{21}$ ，它们是独立的。

— shabbychef 2011年

该命题仅在您知道整个矩阵的情况下适用：如果仅得到对角线，则您不知道例如

X_{12}

$X_{12}$ ，因此无法进行转换。

— petrelharp

通常，可以将任何协方差矩阵分解为方差相关分解，如这里是单位对角线的相关矩阵。因此，的对角线条目现在是方差的对角矩阵的一部分。由于方差矩阵的非对角线条目为零，因此您要寻找的联合分布只是每个对角线条目的边际分布的乘积。

Σ = 诊断 （ Σ ） 问 诊断 （ Σ ）^{⊤} = d 问 d^{⊤}

$\Sigma = \text{diag}(\Sigma) \ Q \ \text{diag}(\Sigma)^\top = D\ Q \ D^\top$

Q

$Q$

q_{i i} = 1

$q_{ii} = 1$

Σ

$\Sigma$

D = [D]_{i i} = [Σ]_{i i}

$D = [D]_{ii} = [\Sigma]_{ii}$

d_{i j} = 0, i \neq j

$d_{ij} = 0, \ i \ne j$

现在考虑维协方差矩阵的标准反Wishart模型 $d$ $\Sigma$

Σ 〜 一世 w ^（ ν + d - 1个 ， 2 ν Λ ） ， ν > d - 1个

$\Sigma \sim \mathcal{IW}(\nu +d -1, 2\nu \Lambda), \quad \nu > d-1$

对角元素以 $\sigma_{ii} = [\Sigma]_{ii}$

σ_{一世 一世} 〜 inv- χ^{2} （ ν + d - 1个 ， \frac{λ_{一世 一世}}{ν - d + 1个} ）

$\sigma_{ii} \sim \text{inv-$\chi^2$}\left(\nu+d-1,\frac{\lambda_{ii}}{\nu -d + 1}\right)$

此处给出了分解为不同方差-相关分布的协方差矩阵的各种先验的好参考

— 用户3303
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