最适合有错误数据的线性回归模型

我正在寻找最适合其自变量（x）具有恒定测量误差而因变量（y）具有信号相关误差的数据的线性回归算法。

在此处输入图片说明

上图说明了我的问题。

regression linear-model measurement-error measurement

— 用户名
source

如果常数变量x具有恒定的测量误差，并且该误差仅用于相对地加权变量，那么这种情况是否等同于x中没有误差？

— pedrofigueira 2014年

@pedro并非如此，因为中的错误

x

$x$ 不仅仅是公式中的权重。使用变量误差回归时，拟合将不同，并且参数的协方差估计将与普通回归不同。

— ub

谢谢你的澄清。您能解释一下为什么会这样吗？

— pedrofigueira 2014年

因变量中的测量误差

给定一般线性模型

\begin{matrix} （1） & ÿ = β_{0} + β_{1个} X_{1个} + \dots + β_{ķ} X_{ķ} + ε \end{matrix}

$y=\beta_0+\beta_1 x_1+\cdots+\beta_kx_k+\varepsilon\tag{1}$ 与

ε

$\varepsilon$ 同调，不自相关且与自变量不相关，让

y^{*}

$y^*$ 表示“ true”变量，并且

y

$y$ 其可观察的措施。测量误差定义为它们的差

Ë = ÿ - ÿ^{*}

$e=y-y^*$ 因此，可估计模型为：

\begin{matrix} （2） & ÿ = β_{0} + β_{1个} X_{1个} + \dots + β_{ķ} X_{ķ} + Ë + ε \end{matrix}

$y=\beta_0+\beta_1 x_1+\cdots+\beta_kx_k+e+\varepsilon\tag{2}$ 以来

y, x_{1}, \dots, x_{k}

$y,x_1,\dots,x_k$ 观察，我们可以通过OLS估计模型。如果测量误差在

y

$y$ 在统计上独立于每个解释变量，则

(e + ε)

$(e+\varepsilon)$ 与...具有相同的属性

ε

$\varepsilon$ 和通常的OLS推理程序（

t

$t$ 统计信息等）有效。但是，在您的情况下，我希望方差会增加

e

$e$ 。您可以使用：

自变量中的测量误差

给定与上述相同的线性模型，让 $x_k^*$ 表示“真实”值，并且 $x_k$ 其可观察的措施。现在的测量误差为：

Ë_{ķ} = X_{ķ} - X_{ķ}^{*}

$e_k=x_k-x_k^*$ 有两种主要情况（Wooldridge，第4.4.2节）。

$\text{Cov}(x_k,e_k)=0$ ：测量误差与观察到的测量值无关，因此必须与未观察到的变量相关联 $x^*_k$ ; 写作 $x_k^*=x_k-e_k$ 并将其插入（1）：
$ÿ = β_{0} + β_{1个} X_{1个} + \dots + β_{ķ} X_{ķ} + （ ε - β_{ķ} Ë_{ķ} ）$ $y=\beta_0+\beta_1x_1+\cdots+\beta_kx_k+(\varepsilon-\beta_ke_k)$ 以来 $\varepsilon$ 和 $e$ 两者互不相关 $x_j$ ，包含 $x_k$ ，测量只会增加误差方差，并且不会违反任何OLS假设；
$\text{Cov}(x^*_k,\eta_k)=0$ ：测量误差与未观察到的变量无关，因此必须与观察到的测量值相关 $x_k$ ; 这种相关性会导致问题和OLS回归 $y$ 上 $x_1,\dots,x_k$ 通常会给出有偏差且不一致的估计量。

据我观察您的情节（误差集中在自变量的“真”值上）所推测，第一种情况可能适用。

— 塞尔吉奥
source