高斯分布样本峰度分布的封闭形式表示

从高斯分布采样的数据的峰度分布是否存在封闭形式的表达式？即

$P(\hat{K}<a)$其中是样本峰度。$\hat{K}$

确切的采样分布很难获得。出现了前几个时刻（可追溯到1929年），各种近似值（可追溯到1960年代初）和表格（通常基于模拟）（可追溯到1960年代）。

更具体：

Fisher（1929）给出了正常样本中偏度和峰度采样分布的矩，而Pearson（1930）（也）给出了偏度和峰度的采样分布的前四个矩，并提出了基于它们的检验。

因此，例如：$^*$

$E(b_2)=\frac{3(n-1)}{n+1}$

$\text{Var}(b_2)=\frac{24n(n-2)(n-3)}{(n+1)^2(n+3)(n+5)}$

的偏度为$b_2$$\frac{216}{n}(1-\frac{29}{n}+\frac{519}{n^2}-\frac{7637}{n^3}+\ldots)$

峰度为。$b_2$$\frac{540}{n}-\frac{20196}{n^2}+\frac{470412}{n^3}+\ldots$

*注意-力矩值等等取决于所使用的峰度的确切定义。例如，如果您看到或公式不同，则通常是由于样品峰度的定义略有不同。$E(b_2)$$\text{Var}(b_2)$

在这种情况下，以上公式应适用于 。$b_2=n\frac{\sum_i (X_i-\bar X)^4}{(\sum_i (X_i-\bar X)^2)^2}$

Pearson（1963）讨论了通过Pearson IV型或Johnson分布近似估计正常样品中峰度的采样分布（无疑，三十年前给出的前四个矩在很大程度上是为了利用Pearson家族） 。$S_U$

Pearson（1965）给出了某些值的峰度百分位数表。$n$

D'Agostino和Tietjen（1971）给出了峰度百分位数的更广泛的表。

D'Agostino和Pearson（1973）给出了峰度百分比图，该峰度再次涵盖了更广泛的病例。

Fisher，RA（1929），
“抽样分布的矩和乘积矩”
，伦敦数学学会学报，系列2，30：199-238。

Pearson，ES，（1930年），
“正常性测试的进一步发展”，
Biometrika，22（1-2），239-249。

皮尔逊，ES（1963）
“ 在近似于概率分布，使用时刻，所产生的一些问题”
Biometrika，50，95-112

皮尔逊，ES（1965）
“ 的百分点表和正常样品在：A四舍五入，” Biometrika，52，282-285$\sqrt{b_1}$$b_2$

达戈斯蒂诺，RB和Tietjen，GL（1971年），
“ 模拟概率点为小样本，” Biometrika，58，669-672。$b_2$

达戈斯蒂诺，RB，和Pearson，ES（1973），
“ 试验从正常偏离。对于分布经验结果和，” Biometrika，60，613-622。$b_2$$\sqrt{b_1}$

正常样本的样本峰度近似为零均值正态分布，方差，其中是样本大小（自然地，越大，逼近度越好。方差的更复杂表达式可以是在Wikipedia页面上找到）。对于小尺寸（<40）的高斯样本，本文已得出百分位数：Lacher，DA（1989）。偏度和峰度的采样分布。临床化学，35（2），330-331。$\approx 24/n$$n$$n$