了解线性回归的形状和置信带的计算

我试图了解与OLS线性回归相关联的置信带的曲线形状的起源，以及它与回归参数（斜率和截距）的置信区间之间的关系，例如（使用R）：

require(visreg)
fit <- lm(Ozone ~ Solar.R,data=airquality)
visreg(fit)

似乎该频带与使用2.5％截距和97.5％斜率以及97.5％截距和2.5％斜率计算的线的极限有关（尽管不完全相同）：

xnew <- seq(0,400)
int <- confint(fit)
lines(xnew, (int[1,2]+int[2,1]*xnew))
lines(xnew, (int[1,1]+int[2,2]*xnew))

我不明白的是两件事：

1. 2.5％斜率和2.5％截距以及97.5％斜率和97.5％截距的组合怎么样？这些给出的线显然在上面绘制的带之外。也许我不了解置信区间的含义，但是如果在95％的情况下，我的估计值都在置信区间内，那么这似乎是可能的结果？
2. 是什么决定上限和下限之间的最小距离（即，接近在上方添加的两条线相交的点）？

我猜这两个问题都会出现，因为我不知道/不了解这些频段的实际计算方式。

如何使用回归参数的置信区间来计算上限和下限（不依赖predict（）或类似函数，即手动）？我试图破译R中的prepare.lm函数，但是编码超出了我的范围。对于任何适合统计初学者的相关文献或解释，我将不胜感激。

谢谢。

$X$$s_{\hat{Y}_{X}}$）是手算（Yech！ ），使用：

$s_{\hat{Y}_{X}} = s_{Y|X}\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{\left(X-\bar{X}\right)^{2}}{\sum_{i=1}^{n}{\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}}}}$，

$s_{Y|X}$）是纯手工计算（双yech！使用）：

$s_{Y|X} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}{\left(Y_{i}-\hat{Y}\right)^{2}}}{n-2}}$。

$\hat{Y} \pm t_{\nu=n-2, \alpha/2}s_{\hat{Y}}$。

请记住，关于回归线的置信带与关于回归线的预测带是不同的野兽（预测不确定性更大）$Y$$X$

$\hat{\beta}$$\hat{\alpha}$

好问题。了解这些概念很重要，而且它们并不简单。

$\bar y$$\bar y$$\bar y$

当我们组合所有置信区间时，对于每个可能的x，它都会给我们提供您在输出中看到的灰色带。

从功能上来说，这意味着我们有95％的信心，真正的回归线位于那个灰色地带。

由于置信带是使用每个点的95％置信区间计算的，因此它与截距的95％CI密切相关。实际上，在x = 0时，灰色区域的边缘将与截距的95％CI完全重合，因为这就是我们生成置信带的方式。这就是为什么您在上方添加的线将灰色带的边缘向左打。

但是，坡度略有不同。正如您在上面看到的，它确实有助于极限，但是斜率和截距在线性回归中不可分离。因此，您不能真正说“如果截距为CI范围的最小值，并且斜率也为最小值，该怎么办？” 这条线会产生很多x都远远超出我们95％CI的点。这意味着我们有95％的信心不是我们真正的回归线。

$\bar x$$s_{{\hat y}_x}$$(x - \bar x)$$x = \bar x$

这里有一个不错的简报可以帮助您直观地了解其中一些内容：http : //www.stat.duke.edu/~tjl13/s101/slides/unit6lec3H.pdf