首先，我要说这是书本上的作业问题。我花了几个小时寻找如何找到期望值，并确定自己一无所知。

令具有CDF。 找到为的那些值针对的存在。$X$$F(x) = 1 - x^{-\alpha}, x\ge1$
$E(X)$$\alpha$$E(X)$

我什至不知道该如何开始。如何确定存在值？我也不知道如何处理CDF（我假设这意味着累积分布函数）。当您具有频率函数或密度函数时，有一些公式可以找到期望值。维基百科说，可以用概率密度函数来定义的CDF，如下所示：$\alpha$$X$$f$

$F(x) = \int_{-\infty}^x f(t)\,dt$

据我所知。我从这里去哪里？

编辑：我的意思是把。$x\ge1$

为概率概率逻辑的评论进行编辑

请注意，在这种情况下，因此分布的概率小于，因此，并且对于增加的cdf ，您还需要。$F(1)=0$$0$$1$$x \ge 1$$\alpha > 0$

如果您拥有cdf，则需要具有这样的连续分布的反积分或导数

$$f(x) = \frac{dF(x)}{dx}$$

反之对于。$F(x) = \int_{1}^x f(t)\,dt$$x \ge 1$

然后找到期望，您需要找到

$$E[X] = \int_{1}^{\infty} x f(x)\,dx$$

前提是存在。我将把微积分留给你。

不需要使用密度函数

积分1减去CDF

当您的随机变量的支持度为非负数时（也就是说，该变量的密度/概率仅对正值而言为非零），可以使用以下属性：$X$

$$E(X) = \int_0^\infty \left( 1 - F_X(x) \right) \,\mathrm{d}x$$

离散随机变量的情况类似。

证明

由于，$1 - F_X(x) = P(X\geq x) = \int_x^\infty f_X(t) \,\mathrm{d}t$

$$\int_0^\infty \left( 1 - F_X(x) \right) \,\mathrm{d}x = \int_0^\infty P(X\geq x) \,\mathrm{d}x = \int_0^\infty \int_x^\infty f_X(t) \,\mathrm{d}t \mathrm{d}x$$

然后更改集成顺序：

$$= \int_0^\infty \int_0^t f_X(t) \,\mathrm{d}x \mathrm{d}t = \int_0^\infty \left[xf_X(t)\right]_0^t \,\mathrm{d}t = \int_0^\infty t f_X(t) \,\mathrm{d}t$$

认识到是一个虚拟变量，或采用简单替换t = x和d t = d x，$t$$t=x$$\mathrm{d}t = \mathrm{d}x$

$$= \int_0^\infty x f_X(x) \,\mathrm{d}x = \mathrm{E}(X)$$

归因

我在Wikipedia上的期望值文章中使用了特殊情况下的公式部分来刷新我对证明的记忆。该部分还包含离散随机变量情况以及不存在密度函数的情况的证明。

结果也扩展到X的第矩。这是图形表示： $k$$X$

$x\geq 1$$F(1)=1-1^{-\alpha}=1-1=0$

$x$$x \to \infty$$0\leq F(y)\leq F(x)\leq 1$$y\leq x$

因此，如果我们插入CDF，我们将得到：

$$0\leq 1-x^{-\alpha}\leq 1\implies 1\geq \frac{1}{x^{\alpha}}\geq 0\implies x^{\alpha}\geq 1 > 0\implies x\geq 1 \>.$$

$x$$x\geq 1$$\lim_{x\to\infty} F(x)=1$$\alpha>0$

为了计算期望值，我们要求：

$$\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}E(X)=\int_{1}^{\infty}x\frac{\rd F(x)}{\rd x}\rd x=\alpha\int_{1}^{\infty}x^{-\alpha} \rd x$$

$E(X)$$-\alpha<-1$$\alpha>1$$\alpha$$r$$E(X^{r})$

要求更改顺序的答案是不必要的丑陋。这是更优雅的2线证明。

$\int udv = uv - \int vdu$

$du = dx$$v = 1- F(x)$

$\int_{0}^{\infty} [ 1- F(x)] dx = [x(1-F(x)) ]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} x f(x)dx$

$= 0 + \int_{0}^{\infty} x f(x)dx$

$= \mathbb{E}[X] \qquad \blacksquare$