统计谬误的名称是什么，以前的硬币抛售的结果会影响有关后续硬币抛售的信念？

28

众所周知，如果掷硬币时正面和反面都有相等的机会落地，那么如果您多次抛硬币，一半的时间会正面，一半的时间会反面。

在与朋友讨论这个问题时，他们说，如果您将硬币抛掷1000次，并说头100次抛硬币落在正面，那么抛尾的机会就增加了（逻辑是，如果硬币没有偏斜，那么当您将其翻转1000次时，您将大约拥有500个头和500个尾巴，因此必须更有可能出现尾巴）。

我知道这是一个谬论，因为过去的结果不会影响未来的结果。那个谬论有名字吗？另外，对于为什么这是谬误，有更好的解释吗？

probability distributions sampling

— 怪兽
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8

如果您将硬币掷出100次并落在正面100次，则很有可能它不是无偏硬币。

— 罗伯特

1

@Robert怎么样？由于每个翻转都是彼此独立的，因此它变为H 100x的机会就好像它是H＆T或100x T的不匹配序列一样

— yuritsuki 2014年

11

@thinlyveiledquestionmark我想和你一起玩扑克...但前提是我被允许交易。我认为Robert的意思是，在100次试验中实现100 H会使他的信念从硬币是公平的转变为硬币是不公平的。给定100次试验中100 H的数据，您必须在上拥有非常强的先验才能不使后验发生明显移动。

Pr (H)

$\Pr(H)$

— Sycorax说恢复Monica 2014年

5

@thinlyveiledquestionmark您必须小心。给定独立的翻转，H或T的每个100翻转序列均具有相同的可能性：100H的可能性与50H 50T的可能性相同，与HTHTHTHT ... HT的可能性一样，依此类推。但是，获得100H的机会比获得总共50头的机会要少得多，因为有

10^{29}

$10^{29}$ 种不同的方式可以使50个掷骰子的头朝上，而50个掷骰子的头朝上。

— Lagerbaer 2014年

3

罗伯特的想法是完全正确的，并且一开始可能是“谬误”的根源。我们的大脑是贝叶斯式的，而不是常识性的。自然界中很少存在“完美”的信息，例如“绝对公平的硬币”。因此，在100次尝试中有100次

P (H e a d s) > 0.5

$P(Heads) > 0.5$

— 正面

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这就是赌徒的谬论。

— 阿鲍曼
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这个问题的第一句话包含了另一个（相关的）谬误：

“众所周知，如果掷硬币时正面和反面都有相等的机会落地，那么如果您多次抛硬币，一半的时间会正面，一半的时间会反面。”

不，我们不会那样做，我们不会一半时间获得正面，一半时间都不会获得正面。如果我们要做到这一点，那么赌徒毕竟不会这么误会。此口头陈述的数学表达式如下：对于某些“大”（但有限），我们有，其中显然表示硬币掉头了。由于是有限的，因此也是有限的，并且与值不同。所以会发生什么后的翻转已经好了吗？它要么落地，要么不落地。在两种情况下， $n'$ $n_{h} = \frac {n'}{2}$ $n_{h}$ $n'$ $n'+1$ $n'$ $n'+1$ $n_h$ 刚刚停止等于“投掷次数的一半”。

但是也许我们真正的意思是一个“难以想象的大”？然后我们说 $n$

lim_{n \to \infty} n_{h} = \frac{n}{2}

$\lim_{n\rightarrow \infty}n_{h} = \frac n{2}$

但是在这里，RHS（“右侧”）包含，而LHS（“左侧”）传递了n到无穷大。因此RHS也是无穷大，因此，如果我们将硬币抛掷无数次（除以，则可忽略不计），则该陈述的意思是硬币将落下的次数等于无穷大： $n$ $2$

lim_{n \to \infty} n_{h} = \frac{n}{2} = \infty

$\lim_{n\rightarrow \infty}n_{h} = \frac n{2} = \infty$

这本质上是正确的，但是没有用的声明，显然不是我们要记住的。

总之，无论“总投掷”是否被认为是有限的，问题中的陈述都不成立。

也许那我们应该说

lim_{n \to \infty} \frac{n_{h}}{n} = \frac{1}{2} ?

$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac {n_{h}}{n} = \frac 1{2} \;\;?$

首先，这表示为“ 当抛掷的数量趋于无穷大时，落落的头部数与抛掷的总数量之比趋于值为 ”，这是另一种说法-没有“抛掷的总数量的一半”这里。同样，这仍然是有时仍将概率视为相对频率的确定性极限的方式。该语句的问题在于，它在LHS中包含不确定的形式：分子和分母都变为无穷大。 $1/2$

嗯，让我们引入随机变量武器库。定义一个随机变量，如果第抛，则取值为如果抛尾时，则取。然后我们有 $X_i$ $1$ $i$ $0$

\frac{n_{h}}{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

$\frac {n_{h}}{n} = \frac 1n \sum_{i=1}^nX_i$

我们现在至少可以说一下

lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i} = \frac{1}{2} ?

$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac 1n \sum_{i=1}^nX_i = \frac 1{2} \;\;?$

没有。这是确定性限制。它允许的序列的所有可能的实现，因此甚至不能保证存在极限，更不用说等于。实际上，这样的陈述只能被视为对顺序的限制，它将破坏抛掷的独立性。 $X$ $1/2$

我们可以说的是，这个平均和的概率（“弱”）收敛到（伯努利-大数弱定律）， $1/2$

lim_{n \to \infty} Pr (| \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i} - \frac{1}{2} | < ε) = 1, \forall ε > 0

$\lim_{n\rightarrow \infty}\text {Pr}\left(\left|\frac 1n \sum_{i=1}^nX_i-\frac 12 \right|<\varepsilon\right) =1 , \;\;\;\forall \varepsilon >0$

并且在考虑中的情况下，它也几乎可以肯定（“强烈”）收敛（Borel-强数定律）

Pr (lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i} = \frac{1}{2}) = 1,

$\text {Pr}\left(\lim_{n\rightarrow \infty}\frac 1n \sum_{i=1}^nX_i=\frac 12 \right) =1 , \;\;\;$

但是，这些是关于与和之间的差异相关的概率的概率陈述，而不是关于差异（根据错误的陈述，该极限应该为零，而并非如此）。 $n_h/n$ $1/2$ $n_h-n_t$

诚然，要真正理解这两个陈述，以及它们与先前的某些陈述（在“理论”和“实践”中有何不同），需要付出一些专门的智力努力-我还不要求自己有如此深刻的理解。

— 阿莱科斯·帕帕多普洛斯
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1

也许是我阅读了很长时间以来最好的，具有教育意义的回应之一。做得好。

— Pete Mancini 2014年

@AlecosPapadopoulos我认为这将有助于答案，就像我们对错误公式所做的那样，将我们可以说的内容放入公式中。我猜是\ lim P（\ frac {1} {n} \ sum X_i）= 1吗？

— kutschkem 2014年

@kutschkem极好的建议。刚做。

— Alecos Papadopoulos

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这个谬论有很多名字。

1）这可能是最著名的赌徒谬论

2）有时也被称为“ 小数定律 ”（另请参阅此处）（因为它涉及到必须在小样本中反映出人口特征的想法）-我认为这是与法律形成鲜明对比的一个好名字的数目很大，但不幸的是，泊松分布使用了相同的名称（数学家有时也用它来表示其他含义），因此可能会造成混淆。

3）在相信谬论的人中，有时将其称为“ 均值定律 ”，尤其是在奔跑之后被援引而没有任何结果表明该结果是“应有的”，但当然没有这样的短期结果法律是存在的- 没有任何行为可以“补偿”初始的不平衡-消除初始差异的唯一方法是通过平均为1/2的后继值的数量。

考虑一个实验，在该实验中反复扔出一枚公平的硬币。设为头数，为直到第试验结束为止观察到的尾数。请注意， $H_i$ $T_i$ $i$ $i=H_i+T_i$

有趣的是，从长远来看（即），虽然确实会收敛于，但随着增加而增长-实际上它无限增长。没有什么“将其推回0”。 $n\to\infty$ $\frac{H_n}{n}$ $\frac{_1}{^2}$ $E|H_n-T_n|$ $n$

— Glen_b-恢复莫妮卡
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1

您是否在考虑“随机”？公平硬币的翻转（或公平骰子的掷骰）是随机的（即独立的），因为它不取决于此类硬币的先前翻转。假设情况是公平的，硬币已经被抛掷了一百次，结果有一百个正面，这一事实并没有改变下一个翻转有50/50正面概率的事实。

相反，从一副纸牌中抽出某张牌而不替换而抽出某张牌的可能性并不是随机的，因为抽出某张牌的可能性将改变在下一次抽奖中抽出某张牌的可能性（如果进行了替换，这将是随机的）。

— 用户名
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随机并不意味着独立

— Ben Voigt 2014年

1

“假设一个公平的竞争...下一次翻转有50/50的机会成为领先者”，我认为您在这里确实拥有深刻的哲学真理。您可以扩大答案以解释如果这是不公平的（又名AKA常规？）骗局会发生什么。

— 海德2014年

0

加上Glen_b和Alecos的回答，让我们将定义为前试验中的头。使用二项式的正态近似的一个熟悉的结果是近似为。现在，在观察前100次抛掷之前，您的朋友是正确的，很有可能接近500。事实上， $X_n$ $n$ $X_n$ $N(n/2, \sqrt{n/4})$ $X_{1000}$

$P( 469 < X_{1000} < 531) \approx .95$ 。

但是，在观察，让我们将定义为最近900次试验中的数量，然后 $X_{100} =100$ $Y_{900}$

$P( 469 < X_{1000} < 531 \mid X_{100}=100) = P( 369 < Y_{900} < 431) \approx .1$

因为约为。 $Y_{900}$ $N(450, 15)$

因此，在前100次试验中观察了100次正面之后，假设硬币是公平的，在前1000次试验中观察到近500次成功的可能性就不再很高。请注意，这是一个具体示例，说明短期内不太可能补偿初始不平衡。

此外，请注意，如果，则 $n=1,000,000$

$P(499,020 < X_{1,000,000} < 500,980) \approx .95$

但从长远来看，前100次投掷失衡的影响可忽略不计

$P(499,020 < X_{1,000,000} < 500,980 \mid X_{100} = 100) = P( 498,920 < Y_{999,900} < 500880) \approx .949$

— sk
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您指的是Gambler的谬论，尽管这并不完全正确。

确实，如果用“ 假设一枚假定的公平硬币并且观察到给定的结果序列，该硬币的基本概率的估计是多少”来表述，这将变得更加明显。

确实，“ 谬误 ”仅与（假定的）公平硬币有关，其中概率的各种乘积相等。但是，这需要与具有另一种（非对称/有偏）概率分布的硬币的类似情况进行对比研究。

有关此问题的进一步讨论（请稍作改动），请参见此问题。

这就像许多统计研究中的谬误一样，其中相关性暗示因果关系。但这可能是因果关系或共同原因的暗示。

— Nikos M.
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只是要注意，如果您连续获得大量正面或反面，最好重新考虑之前的假设，即硬币是公平的。

— 阿夫拉罕
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