百分损失函数


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解决问题的方法:

minmE[|mX|]

众所周知,它是X的中值X,但是其他百分位数的损失函数看起来如何?例如:X的第25个百分位数是解决以下问题的方法:

minmE[L(m,X)]

什么是L在这种情况下?

Answers:


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I成为指标函数:对于真实参数,它等于1;否则,等于0。选择0<α<1并设置

Λα(x)=αxI(x0)(1α)xI(x<0).

数字

该图绘制Λ1/5。它使用一个准确的纵横比,以有助于评估的斜坡,它等于4/5左侧和+1/5在右边。在这种情况下,相比于低于0的游览,高于0的游览的0权重大大降低。0

尝试使用此函数很自然,因为它对值大于权重与小于权重不同。让我们计算相关的损失,然后对其进行优化。0 x 0x0x0

为的分布函数编写并设置,计算X 大号αX = Λ αX - FXLα(m,x)=Λα(xm)

EF(Lα(m,X))=RΛα(xm)dF(x)=αRI(xm)(xm)dF(x)(1α)R(xm)I(x<m)dF(x)=αm(xm)dF(x)(1α)m(xm)dF(x).

图2

在本例中,随着在标准正态分布,绘制了的总概率加权区域。(该曲线是。)的右侧图最清楚地显示了权重正值的效果,因为如果不对此权重降低,图将关于原点对称。中间的图显示了最优值,其中蓝色墨水的总量(代表)尽可能小。˚F Λ 1 / 5 Λ 1 / 5X - d ˚F X = 0 È ˚F大号1 / 5X mFΛ1/5Λ1/5(xm)dF(x)m=0EF(L1/5(m,X)) 

此功能是可微的,因此可以通过检查关键点来找到其极值。施加链式法则与微积分的基本定理以获得衍生物相对于给出m

mEF(Lα(m,X))=α(0mdF(x))(1α)(0mdF(x))=F(m)α.

对于连续分布,它始终具有解,根据定义,它是任何分位数。对于非连续分布,这可能不是有一个解决方案,但将有至少一个为其中对所有和对于所有:(根据定义)这也是的分位数。α X ˚F X - α < 0 X < ˚F X - α 0 X α XmαXmF(x)α<0x<mF(x)α0xmαX

最后,由于和,很显然,或都不会使这种损失最小化。这耗尽了对关键点的检查,表明符合要求。α 1 - Λ αα0α1mmΛα

作为特殊情况,是题。EF(2L1/2(m,X))=EF(|mx|)


感谢您为显示预期损失而付出的努力,并将正确点最小化。我想知道如何自己回答,但是您的解释很好。(+1)m

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您已经证明图片价值1000字。感谢@whuber =)
Cam.Davidson.Pilon 2014年

8

本文有您的答案。具体来说, 损失函数可以解释为通过减去来“平衡”附近的不同概率质量区域。对于中位数,这些质量区域相等: 使损失函数与成比例(期望常数是可忽略的) 得出中位数的理想结论。0.25 0.25 1 { X > m } L 0.5m X = | X m 0.5 1 { X > m } |

L0.25(m,X)=|(Xm)(0.251{X>m})|.
0.250.251{X>m}| X m |
L0.5(m,X)=|(Xm)(0.51{X>m})|=|(Xm)×±0.5|,
|Xm|,

(+1)干得好!-在哪里可以找到该维基百科文章并不明显;您必须考虑分位数回归。
ub

谢谢@Matthew,这是一个很好的发现。我喜欢平衡解释
Cam.Davidson.Pilon 2014年

我仍然无法理解。这是哪里来的?如果X在分位数之上,则权重为0.75,否则为0.25?只是它?X m |(0.25)1X>m)|(Xm)
IcannotFixThis15'Mar 9'9
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