序数和连续随机变量之间关联强度的非参数度量

我收到问题时就把问题扔到这里了。

我有两个随机变量。其中一个是连续的（Y），另一个是离散的，将作为序数（X）逼近。我把与查询一起收到的图放在下面。

向我发送数据的人想要衡量 X和Y之间关联的强度。我正在寻找不会随波逐流的假设而产生想法的想法。请注意，这并不是要找到一种非参数方法来测试关系的强度（例如在引导程序中），而是要找到一种非参数方法来测量关系的强度。

另一方面，效率不成问题，因为有很多数据点。

根据定义，序号刻度是其中刻槽之间的真实距离1 2 3 4未知的量规。就像您看到毒品/酒精下的标尺一样。真实距离可以是任意距离。这可能是1 2 3 4或1 2 3 4或什么的。除非确定距离并进行修正，否则我们无法计算统计数据（例如相关性）。

一种推理可以如下。由于我们的量表（量规）以未知的单调方式失真，因此我们无法相信数据值。只有其数量级是可信赖的。没有更多的大脑控制力，宣告秩序成为价值。因此，我们将观察到的分布替换为均匀分布，即秩。之后，可以计算关联系数，例如Pearson。众所周知，那将是Spearman。Pearson测量线性关联的强度。对变量进行排序是使单调关系的那部分线性化的技巧，该部分归因于最初分布不均匀。因此，斯皮尔曼·[R ħ ø - [R [R ħ ö $r$$rho$$r$$rho$是在关系中这种单调性的量度，可以在均匀化边际分布的作用下转换为线性。在OP问题中，两个变量中只有一个是序数（第二个是连续的）。因此，通常不需要对两个变量都进行排名。可以只对序数排序，然后计算。$r$

替代排名（统一）的另一种方法可能是有序变量的最佳缩放。最佳缩放是一个迭代过程，其目的是在有序尺度上找到这样的距离（即找到它的这种单调变换），从而使变量之间的线性尽可能最大化。排序方法基于前提“真实比例对应于具有均匀分布的数据”，而最佳缩放方法基于前提“真实比例对应于具有最大线性数据”$r$$r$“。最佳缩放可以在分类回归（CATREG）中进行。但是，分类回归要求其他输入变量是离散的（不一定是序数），因此，如果连续输入具有多个唯一值，则您必须将其任意分类。 。

还有其他方法。但是无论如何，我们都会按序“单调”转换序数标度（以便...）（某个假设或某个目标），因为序数标度以未知的方式扭曲了我们。从根本上来说，另一个决定是先“清醒”，然后确定它是否未失真（即为间隔），或是否以已知方式失真（为非等间隔），或者是名义上的。

一些不对称的方法可能包括序数变量的序数回归（另一个/间隔/连续）。或通过序数对后者进行线性回归，其中将预测变量视为多项式对比（即输入为b1X + b2X^2 + b3X^3,...）的模型。这些方法的缺点是它们不对称：一个变量是因变量，另一个是独立变量。

有什么原因会使Spearman的秩相关系数（单调关联的非参数度量）不足？单调性是否太“前负荷”？它基于变量的独立生成等级（和）中的差异（）： x i y $d_{i} = x_{i} - y_{i}$$x_{i}$$y_{i}$

$r_{\text{S}} = 1-\frac{6\sum_{i=1}^{n}{d^{2}_{i}}}{n\left(n^{2}-1\right)}$

如果单调性是过于严格的假设，我不知道是否接近基于最大信息，例如由瑞舍夫（2011年，2013年），这甚至不承担提议功能之间的关系和可能更沿着你是什么系寻找？$X$$Y$

参考文献

Reshef，D.，Reshef，Y.，Finucane，H.，Grossman，S.，McVean，G.，Turnbaugh，P.，Lander，E.，Mitzenmacher，M.和Sabeti，P.（2011）。在大型数据集中检测新颖的关联。科学 334（6062）：1515-1524。

Reshef，D.，Reshef，Y.，Mitzenmacher，M.和Sabeti，P.（2013）。最大信息系数的公平性分析，并进行比较。arXiv，8月14日。