掷出一个公平的硬币，直到第一次出现正面。发生这种奇数折腾的概率是多少？

掷出一个公平的硬币，直到第一次出现正面。发生这种奇数折腾的概率是多少？我该如何解决这个问题？

将硬币第一次出现的概率相加后折腾到1，3，5 ...

$p_o = 1/2 + 1/2^3 + 1/2^5 + ...$

• 在项是很明显的，这是第一的折腾是正面的概率。$1/2$

• 的术语是获得头首次在第三抛，或序列TTH的概率。该序列具有的概率1 / 2 * 1 / 2 * 1 / 2。$1/2^3$$1/2 * 1/2 * 1/2$

• 的术语是获得头首次在第五抛，或序列TTTTH的概率。该序列具有的概率1 / 2 * 1 / 2 * 1 / 2 * 1 / 2 * 1 / 2。$1/2^5$$1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2$

现在我们可以将上面的系列重写为

$p_o = 1/2 + 1/8 + 1/32 + ...$

这是一个几何级数求和至。最简单的方法是通过一个可视示例。从系列开始$2/3$

$p = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + ...$

这是一个总和为的几何级数。$1$

如果我们总结只是该系列的甚至方面，我们可以看到，它们之和为。$1/3$

$1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ... = 1/3$

$2/3$

$p_o = 1/2 + 1/8 + 1/32 + ... = 2/3$

递归思考-让 $p_o$$p_e$$p_o+p_e=1$$p_e$$p_o$$p_e = 1/2\cdot p_o$$p_o+1/2\cdot p_o = 1$$p_o = 2/3$