回归均值差的置信区间

假设我有一个二次回归模型 ，且误差满足通常的假设（独立，正常，独立于值）。令为最小二乘估计。

我有两个新的值和，我有兴趣获得的置信区间。$X$$x_1$$x_2$$v = E(Y|X = x_2) - E(Y|X=x_1) = \beta_1 (x_2 - x_1) + \beta_2 (x_2^2 - x_1^2)$

点估计为，并且（如果我错了，请纠正我）我可以通过估计方差使用软件提供的系数的方差和协方差估计。$\hat{v} = b_1 (x_2 - x_1) + b_2 (x_2^2 - x_1^2)$

我可以使用正态近似并将用作的95％置信区间，也可以使用自举置信区间，但是有一种方法可以计算出确切的分布并使用它？$\hat{v} \pm 1.96 \hat{s}$$v$

您正在寻找的一般结果（在假定的假设下）如下所示：对于具有预测变量的线性回归（您有两个和$p$$X$$X^2$）和一个截距，然后 $n$ 观察， $\mathbf{X}$ 的 $n \times (p+1)$ 设计矩阵 $\hat{\beta}$ 的 $p+1$ 尺寸估算器和 $a \in \mathbb{R}^{p+1}$

结果是您可以构造任意线性组合的置信区间 $\beta$ 使用相同的向量 $t$-分布，用于为其中一个坐标构造置信区间。

就你而言 $p = 2$ 和 $a^T = (0, x_2 - x_1, x_2^2 - x_1^2)$。上面公式中的分母是您计算出的标准误差估计值的平方根（前提是这是软件计算出的...）。请注意，方差估算器$\hat{\sigma}^2$，应该是（通常）无偏估计量，用除以自由度， $n-p-1$，而不是观察数 $n$。