为什么R的lm（）返回的系数估算值与我的教科书不同？

背景

我正在尝试了解拟合模型课程中的第一个示例（因此，这似乎很简单）。我已经手工完成了计算，并且它们与示例匹配，但是当我在R中重复计算时，模型系数不可用。我认为差异可能是由于总体方差使用教科书（），而R可以是使用样本方差（小号2），但我不能看到这些在计算中使用。例如，如果在 某处使用，请注意以下帮助部分：$\sigma^2$$S^2$lm()var()var()

分母n-1用于给出iid观测的（协）方差的无偏估计。

我已经看过了两者的代码lm()，lm.fit()并且都没有使用var()，但是lm.fit()将数据传递给了z <- .Call(C_Cdqrls, x, y, tol, FALSE)我无法访问的已编译C代码（）。

题

谁能解释R为什么给出不同的结果？即使样本方差与总体方差的使用有所不同，为什么系数估计也不同？

数据

设置一条线以根据学校年级预测鞋子的大小。

# model data
mod.dat <- read.table(
    text = 'grade shoe
                1    1
                2    5
                4    9'
    , header = T);

# mean
mod.mu  <- mean(mod.dat$shoe);
# variability 
mod.var <- sum((mod.dat$shoe - mod.mu)^2)

# model coefficients from textbook
mod.m  <- 8/3;
mod.b  <- -1;

# predicted values  ( 1.666667 4.333333 9.666667 )
mod.man.pred       <- mod.dat$grade * mod.m + mod.b;
# residuals         ( -0.6666667  0.6666667 -0.6666667 )
mod.man.resid      <- (mod.dat$shoe - mod.man.pred)
# residual variance ( 1.333333 )
mod.man.unexpl.var <- sum(mod.man.resid^2);
# r^2               ( 0.9583333 )
mod.man.expl.var   <- 1 - mod.man.unexpl.var / mod.var;

# but lm() gives different results:
summary(lm(shoe ~ grade, data = mod.dat))

Call:
lm(formula = shoe ~ grade, data = mod.dat)

Residuals:
      1       2       3 
-0.5714  0.8571 -0.2857 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept)  -1.0000     1.3093  -0.764    0.585
grade         2.5714     0.4949   5.196    0.121

Residual standard error: 1.069 on 1 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.9643,    Adjusted R-squared:  0.9286 
F-statistic:    27 on 1 and 1 DF,  p-value: 0.121

编辑

正如本·博克（Ben Bolker）所展示的那样，看来老师有时会犯错。看来R的计算是正确的。这个故事的寓意：不要仅仅因为老师说的是真的就相信某事。亲自验证！

看来作者在某处犯了数学错误。

如果扩大平方和偏差

$$S = ((b+m)-1)^2+ ((b+2m)-5)^2 + ((b+4m)-9)^2$$ $$\begin{split} S = & b^2+2 b m+ m^2 + 1 - 2 b - 2 m \\ + & b^2+4 b m+ 4 m^2 + 25 - 10 b -20 m \\ + & b^2+8 b m+16 m^2 + 81 - 18 b -72 m \end{split}$$

$$3 b^2 + 14 b m + 21 m^2 + 107 - 30 b - 94 m$$

$S$$b$$m$

$$dS/db = 6 b + 14 m -30 \to 3 b +7 m-15 = 0$$ $$dS/dm = 14 b +42 m -94 \to 7 b + 21 m -47 = 0$$

解决

$$\begin{split} b & = (15-7m)/3 \\ 0 & = 7 (15-7m)/3 + 21 m-47 \\ 47 - 35 & = (-49/3 + 21) m \\ m & = (47-35)/(21-49/3) = 18/7 \end{split}$$

R说这确实是2.571429 ...

基于此链接，这似乎来自Coursera课程……？也许某处的数据转录有误？

$\sum (y-\bar y) (x-\bar x)$$\sum (x-\bar x)^2$

g <- c(1,2,4)
g0 <- g - mean(g)
s <- c(1,5,9)
s0 <- s- mean(s)
sum(g0*s0)/(sum(g0^2))
## [1] 2.571429

$\{1,11/3,9\}$$\{1,5,9\}$