可以成倍增长的稳定分布？

卷积下的稳定分布是不变的。稳定分布的哪些子族也通过乘法闭合？从某种意义上说，如果和，则乘积概率密度函数（直到归一化常数）也属于？$F$$f\in F$$g\in F$$f \cdot g$$F$

注意：我已实质上更改了此问题的内容。但是这个想法本质上是相同的，现在它变得简单得多。我只有部分答案，所以我认为还可以。

“稳定分布”是一种特殊的位置范围分布族。类稳定分布是由两个实数参数的稳定性 和偏度。$\alpha\in(0,2]$ $\beta\in[-1,1]$

维基百科文章中引用的结果解决了有关密度函数乘积下的闭合问题。当是的稳定分布的密度时，则渐近地$f$$\alpha \lt 2$

对于一个明确给出的函数其细节并不重要。（特别是，将为非零要么对所有正或全部负或两者。）因此任何两个这样的密度的该产品将渐近地正比于在至少一条尾巴。由于，此乘积（重新归一化后）不能对应于同一稳定族中的任何分布。$g$$g$$x$$x$$|x|^{-2(1+\alpha)}$$2(1+\alpha)\ne 1+\alpha$

（实际上，因为对于任何可能的，所以任何三个这样的密度函数的乘积甚至不能是密度函数破坏了将产品封闭的想法从单一稳定分布扩展到一组稳定分布的希望。）$3(1+\alpha) \ne 1+\alpha^\prime$$\alpha^\prime\in(0,2]$

唯一剩下的可能性是。这些是正态分布，位置和比例参数和密度与成正比。是简单的检查两个这样的表达式的产物是相同的形式的（因为两个二次形式的总和是在另一个二次形式）。$\alpha=2$$\exp(-(x-\mu)^2/(2\sigma^2))$$\mu$$\sigma$$x$$x$

因此，唯一的答案是，正态分布族是唯一密度封闭的稳定分布。

我知道这是部分答案，但我不是专家，但这可能会有所帮助：如果两个单峰pdf之一是对数凹型的，那么它们的卷积就是单峰的。由于伊布拉吉莫夫（1956），通过这些注释。显然，如果两者都是对数凹的，那么卷积也是对数凹的。

就产品封闭而言，我所知道的关于产品分布的唯一“干净”结果是此math.se答案中描述的极限定理。

这些的截短版本怎么样？有界均匀分布是其形状参数的一个限制情况，据我所知，它们是单峰和对数凹的，因此它们具有单峰，对数凹的卷积。我对他们的产品一无所知。当我在本周晚些时候有更多时间时，我可以尝试运行一些模拟，以查看是否得到了截短的错误分布的对数凹积。也许Govindarajulu（1966）会有所帮助。

我不确定交叉发布的政策是什么，但好像math.se的人似乎也可以为您提供帮助。出于好奇，您是否要根据概率分布构建代数结构？