使用R中的tsoutliers包检测时间序列中的离群值（LS / AO / TC）。如何用公式格式表示离群值？

评论： 首先，我要非常感谢新的tsoutliers软件包的作者，该软件包实现了Chen和Liu的时间序列离群值检测，该软件包于1993年在《美国统计协会杂志》上的开源软件。$R$

程序包在时间序列数据中迭代检测5种不同类型的离群值：

1. 附加异常值（AO）
2. 创新离群值（IO）
3. 电平转换（LS）
4. 临时变更（TC）
5. 季节性水平变动（SLS）

更妙的是，此程序包从预测程序包实现了auto.arima，因此可以无缝检测异常值。软件包还可以生成漂亮的图，以更好地了解时间序列数据。

以下是我的问题：

我尝试使用此程序包运行一些示例，但效果很好。加法离群值和电平移位很直观。但是，在处理临时更改离群值和创新离群值方面，我有两个问题，我无法理解。

临时更改异常值示例：

考虑以下示例：

library(tsoutliers)
library(expsmooth)
library(fma)

outlier.chicken <- tsoutliers::tso(chicken,types = c("AO","LS","TC"),maxit.iloop=10)
outlier.chicken
plot(outlier.chicken)

该程序正确地检测到以下位置的电平变化和临时变化。

Outliers:
  type ind time coefhat tstat
1   LS  12 1935   37.14 3.153
2   TC  20 1943   36.38 3.350

以下是情节和我的问题。

• 如何以等式格式写入临时更改？（电平移位可以很容易地写为二进制变量，在1935 / Obs 12之前的任何时候为0，在1935年之后和之后的任何时候为1。）

包装手册和本文中的临时更改公式为：

其中为0.7。我只是努力将其翻译为上面的示例。$\delta$

• 我的第二个问题是关于创新离群值的，我
  在实践中从未遇到过创新离群值。任何数字示例或案例示例都将非常有帮助。

编辑： @ Irishstat，tsoutliers函数在识别异常值并建议合适的ARIMA模型方面做得很好。查看Nile数据集，请参见下面的auto.arima应用程序，然后应用tsoutliers（默认值包括auto.arima）：

auto.arima(Nile)
Series: Nile 
ARIMA(1,1,1)                    

Coefficients:
         ar1      ma1
      0.2544  -0.8741
s.e.  0.1194   0.0605

sigma^2 estimated as 19769:  log likelihood=-630.63
AIC=1267.25   AICc=1267.51   BIC=1275.04

应用tsoutliers函数后，它将标识LS离群值和加法离群值，并建议ARIMA阶数（0,0,0）。

nile.outliers <- tso(Nile,types = c("AO","LS","TC"))
nile.outliers
Series: Nile 
ARIMA(0,0,0) with non-zero mean 

Coefficients:
      intercept       LS29       AO43
      1097.7500  -242.2289  -399.5211
s.e.    22.6783    26.7793   120.8446

sigma^2 estimated as 14401:  log likelihood=-620.65
AIC=1249.29   AICc=1249.71   BIC=1259.71

Outliers:
  type ind time coefhat  tstat
1   LS  29 1899  -242.2 -9.045
2   AO  43 1913  -399.5 -3.306

filter$\delta=0$$\delta=1$

tc <- rep(0, 50)
tc[20] <- 1
tc1 <- filter(tc, filter = 0, method = "recursive")
tc2 <- filter(tc, filter = 0.3, method = "recursive")
tc3 <- filter(tc, filter = 0.7, method = "recursive")
tc4 <- filter(tc, filter = 1, method = "recursive")
par(mfrow = c(2,2))
plot(tc1, main = "TC delta = 0")
plot(tc2, main = "TC delta = 0.3")
plot(tc3, main = "TC delta = 0.7")
plot(tc4, main = "TC delta = 1", type = "s")

在您的示例中，您可以使用该函数outliers.effects来表示检测到的异常值对观察到的序列的影响：

# unit impulse
m1 <- ts(outliers.effects(outlier.chicken$outliers, n = length(chicken), weights = FALSE))
tsp(m1) <- tsp(chicken)
# weighted by the estimated coefficients
m2 <- ts(outliers.effects(outlier.chicken$outliers, n = length(chicken), weights = TRUE))
tsp(m2) <- tsp(chicken)

创新的异常值IO更为特殊。与中考虑的其他类型的异常值相反，tsoutliersIO的效果取决于所选模型和参数估计值。与许多异常值连在一起时，这一事实可能很麻烦。在算法的第一个迭代中（可能未检测到并调整某些异常值的影响），ARIMA模型的估计质量可能不够好，无法准确定义IO。此外，随着算法的发展，可以选择新的ARIMA模型。因此，可以使用ARIMA模型在初始阶段检测IO，但最终由最后阶段选择的另一个ARIMA模型定义其动态。

在此文档中表明，在某些情况下，IO的影响可能会随着它的发生日期越来越远而变得越来越远，这是很难解释或假定的。

IO具有潜在的吸引力，因为它可以捕获季节性异常值。考虑的其他类型的离群值tsoutliers不能捕获季节性模式。但是，在某些情况下，最好搜索可能的季节性水平变化SLS，而不是IO（如前面提到的文档中所示）。

IO有一个吸引人的解释。有时将其理解为累加离群值，它影响扰动项，然后根据ARIMA模型的动态在系列中传播。从这个意义上讲，IO就​​像一个加法异常值，它们都影响单个观测值，但是IO是扰动项的冲量，而AO是直接加到ARIMA模型或数据生成过程的值上的冲量。离群值是否影响创新或超出干扰范围可能是讨论的问题。

在先前的参考中，您可能会发现一些检测到IO的实际数据示例。