使用ARMA对非平稳过程进行建模的后果？

我知道我们应该使用ARIMA对非平稳时间序列进行建模。另外，我读到的所有内容都说ARMA只应用于固定时间序列。

我想了解的是，在对模型进行错误分类并假设d = 0非平稳时间序列时，在实践中会发生什么？例如：

controlData <- arima.sim(list(order = c(1,1,1), ar = .5, ma = .5), n = 44)

控制数据如下所示：

 [1]   0.0000000   0.1240838  -1.4544087  -3.1943094  -5.6205257
 [6]  -8.5636126 -10.1573548  -9.2822666 -10.0174493 -11.0105225
[11] -11.4726127 -13.8827001 -16.6040541 -19.1966633 -22.0543414
[16] -24.8542959 -25.2883155 -23.6519271 -21.8270981 -21.4351267
[21] -22.6155812 -21.9189036 -20.2064343 -18.2516852 -15.5822178
[26] -13.2248230 -13.4220158 -13.8823855 -14.6122867 -16.4143756
[31] -16.8726071 -15.8499558 -14.0805114 -11.4016515  -9.3330560
[36]  -7.5676563  -6.3691600  -6.8471371  -7.5982880  -8.9692152
[41] -10.6733419 -11.6865440 -12.2503202 -13.5314306 -13.4654890

假设我不知道数据是什么ARIMA(1,1,1)，我可以看一看pacf(controlData)。

然后，我使用Dickey-Fuller来查看数据是否不稳定：

require('tseries')
adf.test(controlData)

# Augmented Dickey-Fuller Test
#
# data:  controlData
# Dickey-Fuller = -2.4133, Lag order = 3, p-value = 0.4099
# alternative hypothesis: stationary

adf.test(controlData, k = 1)

# Augmented Dickey-Fuller Test
#
#data:  controlData
# Dickey-Fuller = -3.1469, Lag order = 1, p-value = 0.1188
# alternative hypothesis: stationary

因此，我可能假设数据为ARIMA（2,0，*），然后使用它auto.arima(controlData)来尝试获得最佳拟合吗？

require('forecast')
naiveFit <- auto.arima(controlData)
naiveFit
# Series: controlData 
# ARIMA(2,0,1) with non-zero mean 
# 
# Coefficients:
#          ar1      ar2     ma1  intercept
#      1.4985  -0.5637  0.6427   -11.8690
# s.e.  0.1508   0.1546  0.1912     3.2647
#
# sigma^2 estimated as 0.8936:  log likelihood=-64.01
# AIC=138.02   AICc=139.56   BIC=147.05

因此，即使过去和将来的数据是ARIMA（1,1,1），我也可能会尝试将其分类为ARIMA（2,0,1）。tsdata(auto.arima(controlData))看起来也不错

这是一个有见识的建模者会发现的东西：

informedFit <- arima(controlData, order = c(1,1,1))
# informedFit
# Series: controlData 
# ARIMA(1,1,1)                    
#
# Coefficients:
#          ar1     ma1
#       0.4936  0.6859
# s.e.  0.1564  0.1764
#
# sigma^2 estimated as 0.9571:  log likelihood=-62.22
# AIC=130.44   AICc=131.04   BIC=135.79

1）为什么这些信息标准比选择的模型更好auto.arima(controlData)？

现在，我仅以图形方式比较实际数据和两个模型：

plot(controlData)
lines(fitted(naiveFit), col = "red")
lines(fitted(informedFit), col = "blue")

2）扮演魔鬼的拥护者，使用ARIMA（2，0，1）作为模型，我将付出什么样的后果？此错误有什么风险？

3）我最担心的是对多期前瞻性预测的影响。我认为它们会不太准确？我只是在寻找一些证据。

4）您会建议一种替代模型的选择方法吗？作为“不知情”建模者的推理有什么问题吗？

我真的很好奇这种错误分类还会带来什么其他后果。我一直在寻找一些资源，但找不到任何东西。我能找到的所有文献都只涉及到这个主题，而只是说数据在执行ARMA之前应该是固定的，如果它不是固定的，则需要相差d倍。

谢谢！

我的印象是，这个问题没有唯一的，完全笼统的答案，因此，我将以一种非正式的方式探讨最简单的情况。

假设真正的数据生成机制是 其中是通常的零均值iid白噪声分量。以上还暗示

$$y_t = y_{t-1} + u_t,\;\; t=1,...,T,\;\; y_0 =0 \tag{1}$$ $u_t$$E(u_t^2)= \sigma^2_u$

$$y_t = \sum_{i=1}^tu_i \tag{2}$$

我们指定一个模型，称为模型$A$

$$y_t = \beta y_{t-1} + u_t,\;\; t=1,...,T,\;\; y_0 =0 \tag{3}$$

并为假定的获得一个估计（让我们仅在需要时讨论估计方法）。$\hat \beta$$\beta$

因此，步前的预测将是$k$

$$\hat y_{T+k} = \hat \beta^k y_T \tag{4}$$

其MSE将为

$$MSE_A[\hat y_{T+k}] = E\left(\hat \beta^k y_T-y_{T+k}\right)^2$$

$$=E\left[(\hat \beta^k-1) y_T -\sum_{i=T+1}^{T+k}u_i \right]^2 = E\big[(\hat\beta^k-1)^2 y_T^2\big]+ k\sigma^2_u \tag{5}$$

（正方形的中间项以及未来错误的叉积）。

现在，我们已经对数据进行了差分，并指定了模型$B$

$$\Delta y_t = \gamma \Delta y_{t-1} + u_t \tag{6}$$

并获得估计值。我们的差异模型可以写成$\hat \gamma$

$$y_t = y_{t-1} + \gamma (y_{t-1}-y_{t-2}) + u_t \tag{7}$$

因此，预测流程的水平，我们将拥有

$$\hat y_{T+1} = y_{T} + \hat \gamma (y_{T}-y_{T-1})$$

实际上，给定真正的DGP将是

$$\hat y_{T+1} = y_{T} + \hat \gamma u_T \tag {8}$$

然后很容易验证，对于模型，$B$

$$\hat y_{T+k} = y_{T} + \big(\hat \gamma + \hat \gamma^2+...+\hat \gamma^k)u_T$$

现在，我们可以合理地预期，给定任何经过“测试和尝试”的估计程序，我们将获得因为它的真实值为，除非我们的数据太少或形状非常“不好” 。所以我们可以说在大多数情况下$|\hat \gamma|<1$$0$

$$\hat y_{T+k} = y_{T} + \frac {\hat \gamma - \hat \gamma ^{k+1}}{1-\hat \gamma}u_T \tag{9}$$

所以

$$MSE_B[\hat y_{T+k}] = E\left[\left(\frac {\hat \gamma - \hat \gamma ^{k+1}}{1-\hat \gamma}\right)^2u_T^2\right] + k\sigma^2_u \tag{10}$$

为了方便我再说一遍

$$MSE_A[\hat y_{T+k} ] = E\big[(\hat\beta^k-1)^2 y_T^2\big]+ k\sigma^2_u \tag{5}$$

因此，为了使差异模型在预测MSE方面表现更好，我们希望

$$MSE_B[\hat y_{T+k}] \leq MSE_A[\hat y_{T+k}]$$

$$\Rightarrow E\left[\left(\frac {\hat \gamma - \hat \gamma ^{k+1}}{1-\hat \gamma}\right)^2u_T^2\right] \leq E\big[(\hat\beta^k-1)^2 y_T^2\big]$$

与模型中的估计量一样，我们对模型的估计量表示相同的礼貌：我们合理地期望将“接近于统一”。 $B$$A$$\hat \beta$

显然，如果发生，则不等式右侧的数量将趋于无限制地增加，因为提前预测步数。另一方面，期望不等式左侧的数量可能会随着增加而增加，但具有上限。因此，在这种情况下，我们期望差异模型在预测MSE方面比模型更好。 $\hat \beta >1$$k$$k$$B$$A$

但假设对案例建模更为有利，其中。然后右侧数量也有一个界限。然后作为我们必须检查是否$A$$\hat \beta <1$$k \rightarrow \infty$

$$E\left[\left(\frac {\hat \gamma}{1-\hat \gamma}\right)^2u_T^2\right] \leq E\big[y_T^2\big]= T\sigma^2_u\;\; ??$$

（是一种便利-实际上，对于较小的两个量值都已经接近其极值）。 $k \rightarrow \infty$$k$

请注意，术语 预计将“相当接近”于，因此模型在此方面具有优势。 $\left(\frac {\hat \gamma }{1-\hat \gamma}\right)^2$$0$$B$

我们无法分离剩余的期望值，因为估算器并不独立于。但是我们可以将不平等转化为$\hat \gamma$$u_T$

$$\operatorname{Cov}\left[\left(\frac {\hat \gamma}{1-\hat \gamma}\right)^2,\,u_T^2\right] + E\left[\left(\frac {\hat \gamma}{1-\hat \gamma}\right)^2\right]\cdot \sigma^2_u \leq T\sigma^2_u\;\; ??$$

$$\Rightarrow \operatorname{Cov}\left[\left(\frac {\hat \gamma}{1-\hat \gamma}\right)^2,\,u_T^2\right] \leq \left (T-E\left[\left(\frac {\hat \gamma}{1-\hat \gamma}\right)^2\right]\right)\cdot \sigma^2_u \;\; ??$$

现在，由于估计量取决于所有误差，因此左侧的协方差预计会很小。在不等式的另一侧，来自一个固定的数据集，所以它的上面函数的预期值预计是多比样品（大小少，因为更多的置于该功能范围将在）。 Ť γ（0，1$\hat \gamma$$T$$\hat \gamma$$(0,1)$

因此，总的来说，在不讨论任何特定估计方法的情况下，我相信我们能够非正式地表明，应该期望差异模型在预测MSE方面表现更好。

这是一个好问题。

据我了解，您只是考虑过pacf，但这还不够。ACF和PACF都是选择最佳模型所必需的。

另一方面，静态测试是脆弱而敏感的，需要大量的滞后才能进行测试。

另外，最好在应用任何模型之前使时间序列固定。粗略地说，ARIMA模型只是考虑了非平稳的一种特例（最好是趋势）。

关于您的问题，我不确定auto.arima函数，但我确定示例中的数据点数量很少。使用大量数据点模拟模型可以很好地回答您的问题。另外，我建议您考虑时间序列的ACF以及PACF。关于模型选择，经验法则是选择最简单的模型（请注意，在使时间序列固定之后，最简单的模型）。

我请您参考此参考。这本书并未回答您所有的问题，但为您提供了一些线索。

-----补充部分------- @nsw考虑数据趋势。如果考虑平稳模型，则会导致向上/向下预测，但实际上ARMA模型旨在预测平面数据。我已更改您的代码以反映此差异：

要求（'预测'）

要求（'tseries'）

controlData <-arima.sim（list（order = c（1,1,1），ar = .5，ma = .5），n = 1000）

acf（控制数据）

ts.plot（controlData）

naiveFit <-arima（controlData，order = c（2,0,1））

trueFit <-arima（controlData，order = c（1,1,1））

PrnaiveFit <-forecast.Arima（naiveFit，10）

PrtrueFit <-Forecast.Arima（trueFit，10）

matplot（cbind（PrnaiveFit $平均值，PrtrueFit $平均值），type ='b'，col = c（'red'，'green'），ylab = c（'predict ion'），pch = c（'n'， 't'））