整合经验CDF

我有一个经验分布。我如下计算$G(x)$

    x <- seq(0, 1000, 0.1)
    g <- ecdf(var1)
    G <- g(x)

我表示，即h是pdf，而G是cdf。$h(x) = dG/dx$$h$$G$

我现在想求解一个积分上限的方程（例如），以使x的期望值为k。$a$$x$$k$

即，从积分至b，我应该有∫ X ħ （X ）d X = ķ。我想解决b。$0$$b$$\int xh(x)dx = k$$b$

通过部分积分，我可以将等式重写为

，其中积分是从 0到 b -------（1）$bG(b) - \int_0^b G(x)dx = k$$0$$b$

我想我可以如下计算积分

    intgrl <- function(b) {
        z <- seq(0, b, 0.01)
        G <- g(z)
        return(mean(G))
     }

但是当我尝试与

    library(rootSolve)
    root <- uniroot.All(fun, c(0, 1000))

有趣的是eq（1），出现以下错误

    Error in seq.default(0, b, by = 0.01) : 'to' must be of length 1  

我认为问题是我的函数intgrl在uniroot.All传递间隔时以数字值求值c(0,1000)

在这种情况下，我应该如何解决R中的？$b$

让排序的数据是。为了理解经验CDF ģ，考虑的值中的一个X 我 --let称之为γ --and假设一些数ķ的X 我小于γ和吨≥ 1的X 我等于γ。选择一个区间[ α ，β ]，在所有可能的数据值中，只有$x_1 \le x_2 \le \cdots \le x_n$$G$$x_i$$\gamma$$k$$x_i$$\gamma$$t \ge 1$$x_i$$\gamma$$[\alpha, \beta]$$\gamma$出现。然后，通过定义，该时间间隔内具有恒定值ķ / Ñ为小于数γ，并跳转到恒定值（ķ + 吨）/ Ñ为数字大于γ。$G$$k/n$$\gamma$$(k+t)/n$$\gamma$

$\int_0^b x h(x) dx$$[\alpha,\beta]$$h$$t/n$$\gamma$$[\alpha,\beta]$

$$\int_\alpha^\beta x h(x) dx = \left(x G(x)\right)\vert_\alpha^\beta - \int_\alpha^\beta G(x) dx = \left(\beta G(\beta) - \alpha G(\alpha)\right) -\int_\alpha^\beta G(x) dx.$$

$\gamma$$G$

$$\int_\alpha^\beta G(x)dx = \int_\alpha^\gamma G(\alpha) dx + \int_\gamma^\beta G(\beta) dx = (\gamma-\alpha)G(\alpha) + (\beta-\gamma)G(\beta).$$

$G(\alpha)=k/n, G(\beta)=(k+t)/n$

$$\int_\alpha^\beta x h(x) dx = \left(\beta G(\beta) - \alpha G(\alpha)\right) - \left((\gamma-\alpha)G(\alpha) + (\beta-\gamma)G(\beta)\right) = \gamma\frac{t}{n}.$$

$X$

$$\frac{t}{n} = \frac{1}{n} + \cdots + \frac{1}{n}$$

$\gamma$$G$

$$\int_0^b x h(x) dx = \sum_{i:\, 0 \le x_i \le b} \left(x_i\frac{1}{n}\right) = \frac{1}{n}\sum_{x_i\le b}x_i.$$

$1/n$$[0,b]$$1/n$$1/m$$m$$[0,b]$

$k$$b$$\frac{1}{n}\sum_{x_i\le b}x_i = k.$$k$$j$

$$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{j-1} x_i \le k \lt \frac{1}{n}\sum_{i=1}^j x_i,$$

$b$$[x_{j-1}, x_j)$$b$

---

Rcumsum使用which搜索族执行部分总和计算，并找到与任何指定值相交的地方，如：

set.seed(17)
k <- 0.1
var1 <- round(rgamma(10, 1), 2)
x <- sort(var1)
x.partial <- cumsum(x) / length(x)
i <- which.max(x.partial > k)
cat("Upper limit lies between", x[i-1], "and", x[i])

在此示例中，从指数分布中提取的数据的输出为

上限介于0.39和0.57之间

$0.1 = \int_0^b x \exp(-x)dx,$$0.531812$

$G$