极值理论-显示：从正常到冈贝尔

的最大值 simiid根据极值理论，标准正态收敛于标准Gumbel分布。$X_1,\dots,X_n. \sim$

我们如何证明这一点？

我们有

$$P(\max X_i \leq x) = P(X_1 \leq x, \dots, X_n \leq x) = P(X_1 \leq x) \cdots P(X_n \leq x) = F(x)^n$$

我们需要查找/选择常数的序列，以便：F \ left（a_n x + b_n \ right）^ n \ rightarrow ^ {n \ rightarrow \ infty} G（x ）= e ^ {-\ exp（-x）}$a_n>0,b_n\in\mathbb{R}$

$$F\left(a_n x+b_n\right)^n\rightarrow^{n\rightarrow\infty} G(x) = e^{-\exp(-x)}$$

您能解决它还是在文学中找到它？

有一些示例pg.6 / 71，但对于普通情况没有：

$$\Phi\left(a_n x+b_n\right)^n=\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{a_n x+b_n} e^{-\frac{y^2}{2}}dy\right)^n\rightarrow e^{-\exp(-x)}$$

一种间接方法如下：
对于绝对连续的发行版，理查德·冯·米塞斯（Richard von Mises，理查德·冯·米塞斯（Richard von Mises）（在1936年发表的论文“ La distribution de la plus grande de n valeurs”中似乎用英语？）在1964年版中选中他的论文）提供了以下充分条件，以使样本的最大值收敛到标准Gumbel：$G(x)$

令为同名随机变量的公共分布函数，而它们的公共密度。那如果$F(x)$$n$$f(x)$

$$\lim_{x\rightarrow F^{-1}(1)}\left (\frac d{dx}\frac {(1-F(x))}{f(x)}\right) =0 \Rightarrow X_{(n)} \xrightarrow{d} G(x)$$

使用标准法线的常用符号并计算导数，我们得到

$$\frac d{dx}\frac {(1-\Phi(x))}{\phi(x)} = \frac {-\phi(x)^2-\phi'(x)(1-\Phi(x))}{\phi(x)^2} = \frac {-\phi'(x)}{\phi(x)}\frac {(1-\Phi(x))}{\phi(x)}-1$$

注意。同样，对于正态分布，。所以我们必须评估极限$\frac {-\phi'(x)}{\phi(x)} =x$$F^{-1}(1) = \infty$

$$\lim_{x\rightarrow \infty}\left (x\frac {(1-\Phi(x))}{\phi(x)}-1\right)$$

但是是密尔的比率，并且我们知道随着增长，标准法线的密尔比率趋于。所以$\frac {(1-\Phi(x))}{\phi(x)}$$1/x$$x$

$$\lim_{x\rightarrow \infty}\left (x\frac {(1-\Phi(x))}{\phi(x)}-1\right) = x\frac {1}{x}-1= 0$$

并且满足充分条件。

相关的级数为

$$a_n = \frac 1{n\phi(b_n)},\;\;\; b_n = \Phi^{-1}(1-1/n)$$

附录

这是从ch。HA David＆HN Nagaraja（2003），《订单统计》（第3版），第 10.5页。

$\xi_a = F^{-1}(a)$。另外，对de Haan的引用是“ Haan，LD（1976）。样本极端：基本介绍。StatisticaNeerlandica，30（4），161-172。 ”但是请注意，因为某些符号在de Haan中具有不同的内容-例如，在书中是概率密度函数，而在德哈恩中，是书中的函数（即密尔比）。另外，德哈恩（De Haan）研究了已经区分的充分条件。$f(t)$ $f(t)$$w(t)$

这个问题问两件事：（1）在适当选择的序列）（分布）收敛的意义上，如何显示最大收敛和到标准Gumbel分布，以及（2）如何找到这样的序列。$X_{(n)}$$(X_{(n)}-b_n)/a_n$$(a_n)$$(b_n)$

第一个是众所周知的，并记录在Fisher-Tippett-Gnedenko定理（FTG）的原始论文中。第二个似乎更困难。这就是这里要解决的问题。

请注意，为澄清此线程其他地方出现的一些断言，

1. 最大并没有收敛到任何东西：它发散（尽管极为缓慢）。

2. 关于Gumbel分布似乎有不同的约定。我将采用以下约定：反向 Gumbel分布的CDF在一定程度上取决于范围和位置。适当标准化的iid正态变量最大值收敛到反向的Gumbel分布。$1-\exp(-\exp(x))$

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直觉

当与公共分布函数相等时，最大为$X_i$$F$$X_{(n)}$

$$F_n(x) = \Pr(X_{(n)}\le x) = \Pr(X_1 \le x)\Pr(X_2 \le x) \cdots \Pr(X_n \le x) = F^n(x).$$

当的支撑没有上限时（如正态分布一样），函数的序列将永远无限制地向右移动：$F$$F^n$

示出了对于的局部图。$F_n$$n=1,2,2^2, 2^4, 2^8, 2^{16}$

要研究这些分布的形状，我们可以将每个分布向左移一些$b_n$然后将其重新缩放以使其具有可比性。$a_n$

先前的每个图形都已移位，以将其中位数设置为并使其单位长度的四分位数范围。$0$

FTG断言可以选择序列和以便这些分布函数在每个处逐点收敛到某个$(a_n)$$(b_n)$$x$极值分布，直至规模和位置。当是正态分布时，特定的极限极值分布是反向的Gumbel，直至位置和比例。$F$

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解

试图通过将标准化为具有单位均值和单位方差来模拟中心极限定理。但是，这是不适当的，部分原因是因为FTG甚至适用于没有第一或第二时刻的（连续）分布。而是使用百分位数（例如中位数）来确定位置，并使用百分位数的差（例如IQR）来确定价差。 （这种通用方法应该可以成功找到和$F_n$$a_n$$b_n$对于任何连续分布。）

对于标准正态分布，这很容易！令。的位数对应于是任意值为其。回顾定义$0 \lt q \lt 1$$F_n$$q$$x_q$$F_n(x_q) = q$$F_n(x) = F^n(x)$，解为

$$x_{q;n} = F^{-1}(q^{1/n}).$$

因此，我们可以设置

$$b_n = x_{1/2;n},\ a_n = x_{3/4;n} - x_{1/4;n};\ G_n(x) = F_n(a_n x + b_n).$$

因为根据构造，的中位数为且其IQR为，所以（这是反向Gumbel的某种形式）的极限值的中位数必须为并且其IQR必须为。假设scale参数为，而location参数为。由于中位数是并且IQR很容易被发现是$G_n$$0$$1$$G_n$$0$$1$$\beta$$\alpha$$\alpha + \beta \log\log(2)$$\beta(\log\log(4) - \log\log(4/3))$，因此参数必须为

$$\alpha = \frac{\log\log 2}{\log\log(4/3) - \log\log(4)};\ \beta = \frac{1}{\log\log(4) - \log\log(4/3)}.$$

这是没有必要的和是恰好这些值：他们只需要接近他们，提供的极限仍是这个逆转Gumbel分布。对标准法向进行简单（但乏味）的分析$a_n$$b_n$$G_n$$F$表明，近似值

$$a_n^\prime = \frac{\log \left(\left(4 \log^2(2)\right)/\left(\log^2\left(\frac{4}{3}\right)\right)\right)}{2\sqrt{2\log (n)}},\ b_n^\prime = \sqrt{2\log (n)}-\frac{\log (\log (n))+\log \left(4 \pi \log ^2(2)\right)}{2 \sqrt{2\log (n)}}$$

可以正常工作（并且尽可能简单）。

淡蓝色的曲线的曲线图部分为使用近似序列和。深红色线用参数和绘制了反转的Gumbel分布。收敛很明显（尽管负的收敛速度明显较慢）。$G_n$$n=2, 2^6, 2^{11}, 2^{16}$$a_n^\prime$$b_n^\prime$$\alpha$$\beta$$x$

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参考文献

BV Gnedenko，关于随机序列中最大项的极限分布。在Kotz和Johnson中，《统计突破第一册：基础和基本理论》， Springer，1992年。由Norman Johnson译。