pdf和pmf以及cdf是否包含相同的信息？

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pdf和pmf以及cdf是否包含相同的信息？

对我来说，pdf将整个概率提供给某个点（基本上是该概率下的面积）。

pmf给出某一点的概率。

cdf给出特定点下的概率。

因此对我来说pdf和cdf具有相同的信息，但是pmf却没有，因为它给出了分布上某一点的概率x。

probability distributions pdf inference cdf

— are
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Answers:

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在区分概率函数和密度*的地方，pmf仅适用于离散随机变量，而pdf适用于连续随机变量。

*形式化方法可以同时包含这两种方法，并且可以使用一个术语

cdf适用于任何随机变量，包括既没有pdf也没有pmf的变量。

在此处输入图片说明

（混合发行版不是唯一没有pdf或pmf发行版的情况，而是一种常见的情况-例如，考虑一天的降雨量，或在索赔中支付的金额财产保险单，其中任何一种都可以通过零膨胀连续分布来建模）

为一个随机变量的累积分布函数给出 $X$ $P(X\leq x)$

对于一个离散随机变量的PMF ，给出。 $X$ $P(X=x)$

pdf 本身并没有给出概率，而是给出了相对概率。连续分布没有点概率。要获得pdf的概率，您需要在一定间隔内进行积分-或取两个cdf值之差。

很难回答“它们是否包含相同的信息”这个问题，因为这取决于您的意思。您可以从pdf到cdf（通过集成），从pmf到cdf（通过求和），从cdf到pdf（通过微分），以及从cdf到pmf（通过求差），因此，如果存在pmf或pdf，它包含与cdf相同的信息。

— Glen_b-恢复莫妮卡
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1

格伦，您能提供一些参考资料来帮助我阅读“ pdf给相对概率”吗？这非常有趣，我不记得在我的书中看到过它。谢谢。

— Alecos Papadopoulos 2014年

f (x)

$f(x)$

f (x) d x

$f(x)\,dx$

(x, x + d x)

$(x,x+dx)$

f (x) / g (x)

$f(x)/g(x)$

f

$f$

x

$x$

g

$g$

我知道了。它肯定是概率比的近似值，并且肯定存在于经验密度函数中，在经验密度函数中，事物根据需要是离散的。

— Alecos Papadopoulos

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F_{X} (x) = P {X \leq x} .

$F_X(x) = P\{X \leq x\}.$

X

$X$

C (x) = x

$C(x) = x$

x

$x$

x

$x$

C (x) = 0

$C(x)= 0$

x < 0

$x < 0$

C (x) = 1

$C(x) = 1$

1 < x

$1 < x$

C (x)

$C(x)$

因此，您的问题的答案是，如果存在密度或质量函数，那么就某种度量而言，它是CDF的导数。在这种意义上，它们带有“相同”的信息。但是，不必存在PDF和PMF。CDF必须存在。

— 丹尼斯
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2

丹尼斯，您能澄清一下“ 对于任何量度根本没有密度 ”一词的意思。吗？当然，它本身具有密度（均匀！）。

— 主教

μ

$\mu$

(Ω, σ (Ω), μ)

$(\Omega, \sigma(\Omega), \mu)$

μ

$\mu$

C (x)

$C(x)$ 没有RN衍生物。

— 丹尼斯

3

@cardinal（续）：Cantor集上的概率测度是统一的，但这是一个奇怪的野兽，我什至不确定是多少

σ

$\sigma$ 代数样。也许我应该说：“任何有用的措施都没有密度。”

— 丹尼斯

2

其他答案指向CDF是基本的并且必须存在的事实，而PDF和PMF不是，也不一定存在。

$S^1$

在我看来，答案是基本功能是概率度量，该度量将样本空间的每个（考虑的）子集映射到一个概率。然后，当它们存在时，CDF，PDF和PMF由概率测度得出。

— 乔尔·波斯维尔德
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1

以我所见的方式，大多数教科书将“随机变量”定义为从样本空间到实数的映射。本质上，“随机变量”是实值。

— Neil G

1

(R, B, F)

$(\mathbb{R}, \frak{B}, \mathrm{F})$

(Ω, σ (Ω), μ)

$(\Omega, \sigma(\Omega), \mu)$

Ω

$\Omega$

μ

$\mu$

F_{X} (x) = μ {ω | X (ω) \leq x} .

$F_X(x) = \mu\{\omega\, |\, X(\omega) \leq x\}.$

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