CDF举足轻重？

如果 $F_Z$ 是CDF，则看起来 $F_Z(z)^\alpha$ （）也是CDF。 $\alpha \gt 0$

问：这是标准结果吗？

Q：有一个很好的方法找到一个函数与 ST，其中 $g$ $X \equiv g(Z)$ $F_X(x) = F_Z(z)^\alpha$ $x \equiv g(z)$

基本上，我手头还有另一个CDF。从某种程度上讲，我想描述产生该CDF的随机变量的特征。 $F_Z(z)^\alpha$

编辑：如果能得到特殊情况的分析结果，我会很高兴。或者至少知道这样的结果很棘手。 $Z \sim N(0,1)$

data-transformation cdf quantile-function

— Lowndrul
source

是的，这是一个众所周知的结果，很容易推广。（如何？）您也可以至少隐式地找到。从本质上讲，它是逆变换技术的一种应用，通常用于生成任意分布的随机变量。

g

$g$

— 主教

@cardinal请回答。团队后来抱怨我们不是在低回答率下战斗。

@mbq：感谢您的评论，我非常理解和尊重。请理解，有时出于时间和/或地点的考虑，我无法发布答案，但允许快速发表评论，这可以使OP或其他参与者重新开始。请放心，今后，如果我能够发布答案，我会这样做。希望我继续通过评论参与也可以。

— 主教

@cardinal我们有些人也犯了同样的，出于同样的原因...

— whuber

@brianjd是的，这是一个众所周知的结果，已用于工业化生产“通用”发行版，请参见。存在许多这样的变换，人们为此目的使用它们：他们找到一个参数化变换，将其应用于分布和模型，仅通过计算其属性即可获得论文。当然，正常情况是第一个“受害者”。

Answers:

我喜欢其他答案，但还没有人提及以下内容。事件 $\{U \leq t,\ V\leq t \}$ 发生当且仅当 $\{\mathrm{max}(U,V)\leq t\}$ ，因此，如果 $U$ 和 $V$ 是独立的和 $W = \mathrm{max}(U,V)$ ，然后 $F_{W}(t) = F_{U}(t)*F_{V}(t)$ ，以便为 $\alpha$ 的正整数（比如， $\alpha = n$ ）取 $X = \mathrm{max}(Z_{1},...Z_{n})$ 其中 $Z$ 的是独立同分布的

对于 $\alpha = 1/n$ 我们可以切换为 $F_{Z} = F_{X}^n$ ，因此 $X$ 将是该随机变量，从而 $n$ 独立副本的最大值具有与相同的分布 $Z$ （并且这将不是我们熟悉的朋友之一），一般来说）。

由于，因此 $\alpha$ 是正有理数（例如 $\alpha = m/n$ ）的情况

{(F_{Z})}^{m / n} = {(F_{Z}^{1 / n})}^{m} .

$\left(F_{Z}\right)^{m/n} = \left(F_{Z}^{1/n}\right)^{m}.$

对于非理性的，选择一个收敛于的正有理序列；那么序列（我们可以对每个使用上面的技巧）将收敛于期望的分布。 $\alpha$ $a_{k}$ $\alpha$ $X_{k}$ $k$ $X$

这可能不是你要找的表征，但它至少提供了如何思考一些想法为适当不错。另一方面，我不太确定它到底能得到多少好：您已经有了CDF，因此链式规则为您提供了PDF，您可以计算直到太阳落山的时刻...？的确，大多数不会有熟悉的 $F_{Z}^{\alpha}$ $\alpha$ $Z$ $X$ ，但是如果我想通过一个示例来寻找有趣的东西，我可以尝试将均匀分布在单位间隔中，其中，。 $\alpha = \sqrt{2}$ $Z$ $F(z) = z$ $0<z<1$

编辑： 我在@JMS答案中写了一些评论，并且有一个关于我的算术的问题，所以我会写出我的意思，希望它更清楚。

@cardinal正确至@JMS答案的评论中写道，该问题简化为或更一般地，当不一定，我们有

G^{- 1个} （ ÿ ） = Φ^{- 1个} （ Φ^{α} （ ÿ ） ） ，

$g^{-1}(y) = \Phi^{-1}(\Phi^{\alpha}(y)),$

Z

$Z$

N (0, 1)

$N(0,1)$

X = G^{- 1个} （ ÿ ） = F^{- 1个} （ F^{α} （ ÿ ） ） 。

$x = g^{-1}(y) = F^{-1}(F^{\alpha}(y)).$ 我的观点是，当

具有一个不错的逆函数时，我们可以用基本代数求解函数

。我在评论中写道

应该是

F

$F$

y = g (x)

$y = g(x)$

g

$g$

ÿ = G （ X ） = F^{- 1个} （ F^{1个 / α} （ X ） ） 。

$y = g(x) = F^{-1}(F^{1/\alpha}(x)).$

让我们以一种特殊情况为例，将其插入并查看其工作方式。令具有Exp（1）分布，CDF CDF 倒数插入所有东西很容易找到 ; 完成后，我们得到 $X$

F （ X ） = （ 1个 - Ë^{- X} ） ， X > 0 ，

$F(x) = (1 - \mathrm{e}^{-x}),\ x > 0,$

F^{- 1个} （ ÿ ） = - \ln （ 1个 - ÿ ） 。

$F^{-1}(y) = -\ln(1 - y).$

g

$g$

因此，简言之，我的要求是，如果

，并且如果我们定义

则

将具有CDF，看起来像

ÿ = G （ X ） = - \ln （ 1个 - （ 1个 - Ë^{- X} ）^{1个 / α} ）

$y = g(x) = -\ln \left( 1 - (1 - \mathrm{e}^{-x})^{1/\alpha} \right)$

X \sim E x p (1)

$X \sim \mathrm{Exp}(1)$

ÿ = - \ln （ 1个 - （ 1个 - Ë^{- X} ）^{1个 / α} ） ，

$Y = -\ln \left( 1 - (1 - \mathrm{e}^{-X})^{1/\alpha} \right),$

Y

$Y$

我们可以（在直视证明了这一点

和使用代数得到表达，在未来的最后一步，我们需要的概率积分变换）。只是在我发疯的情况下（经常重复），我进行了一些仿真来仔细检查它是否有效，并且确实如此。见下文。为了使代码更容易我用两个事实：

F_{ÿ} （ ÿ ） = {（ 1个 - Ë^{- ÿ} ）}^{α} 。

$F_{Y}(y) = \left( 1 - \mathrm{e}^{-y} \right)^{\alpha}.$

P (Y \leq y)

$P(Y \leq y)$

如果 X 〜 F 然后 ü = F （ X ） 〜 ü ñ 一世 F （ 0 ， 1个 ） 。

$\mbox{If $X \sim F$ then $U = F(X) \sim \mathrm{Unif}(0,1)$.}$

如果 ü 〜 ü ñ 一世 F （ 0 ， 1个 ） 然后 ü^{1个 / α} 〜 乙 Ë Ť 一种 （ α ， 1个 ） 。

$\mbox{If $U \sim \mathrm{Unif}(0,1)$ then $U^{1/\alpha} \sim \mathrm{Beta}(\alpha,1)$.}$

仿真结果图如下。

ECDF和F到alpha

用于生成图的R代码（减去标签）为

n <- 10000; alpha <- 0.7
z <- rbeta(n, shape1 = alpha, shape2 = 1)
y <- -log(1 - z)
plot(ecdf(y))
f <- function(x) (pexp(x, rate = 1))^alpha
curve(f, add = TRUE, lty = 2, lwd = 2)

我觉得合身度很好。也许我这次不疯了？

Z \sim N (0, 1)

$Z\sim N(0,1)$

g (z) = Φ^{- 1} (Φ^{1 / α} (z))

$g(z) = \Phi^{-1}(\Phi^{1/\alpha}(z))$

仔细检查您的算术会很好。

— 主教

@cardinal errr ...好吧，我做到了...是吗？您能指出错误吗？

（+1）道歉。第一次看时，我不确定我的头在哪里。显然（正确，应该是！）正确。

— 主教

@cardinal，没有伤害，没有犯规。不过，我承认，您确实让我出了一分钟的汗水！:-)

无言证明

在此处输入图片说明

$F$ $F^\alpha$ $\alpha \lt 1$ $z$ $x = g(z)$

— ub
source

漂亮的照片！问：那是什么？TikZ？

— lowndrul 2011年

@brianjd：如果我还记得的话，@ whuber使用Mathematica进行了许多绘制工作。

— 主教

@cardinal你是对的。实际上，我会使用任何方便的方法，并且看起来它会很快做好。FWIW，代码如下：

Module[ {y, w, a = 0.1, z = 3.24, f = ChiDistribution[7.6], xmin=0, xmax=5}, y = CDF[f,z]; w = InverseCDF[f, y^(1/a)]; Show[ Plot[{CDF[f, x],CDF[f,x]^a} , {x, xmin, xmax}, Filling->{1->{2}}], Graphics[{ Dashed, Arrow[{{z,0}, {z,y}}],  Arrow[{{z,y}, {w,y}}], Arrow[{{w,y}, {w,0}}] }] ] ]

— whuber

$\alpha>1$

$F_z(z)^\alpha$ $1$ $0$ $F_z$

Q2）除非，否则似乎很难分析 $F_Z$

— JMS
source

Z \sim N (0, 1)

$Z \sim N(0,1)$ ？

— lowndrul 2011年

g

$g$

g^{- 1}

$g^{-1}$

Φ^{α} (u) = P (g (Z) \leq u) = P (Z \leq g^{- 1} (u)) = Φ (g^{- 1} (u))

$\renewcommand{\Pr}{\mathbb{P}}\Phi^{\alpha}(u) = \Pr(g(Z) \leq u) = \Pr( Z \leq g^{-1}(u)) = \Phi(g^{-1}(u))$

g^{- 1} (u) = Φ^{- 1} (Φ^{α} (u))

$g^{-1}(u) = \Phi^{-1}(\Phi^{\alpha}(u))$

g

$g$

g

$g$

F_{Z}

$F_Z$

Z \sim U [0, 1]

$Z \sim \mathcal{U}[0,1]$

B e t a (a, 1)

$Beta(a, 1)$

B e t a (a α, 1)

$Beta(a\alpha, 1)$