如何在线性模型中说明空间协方差？

背景

我有一项实地研究的数据，在该研究中，两个模块中的每个模块有四个处理级别和六个重复项。（4x6x2 = 48个观察值）

街区相距约1英里，街区内有42个2m x 4m地块的网格和1m宽的人行道。我的研究在每个区块中仅使用了24个地块。

我想评估评估空间协方差。

这是一个使用单个块中的数据进行分析的示例，其中不考虑空间协方差。在数据集中，plot图的id是图的ID，图1的中心位于0，0的每个图x的x位置和yy位置。level是处理级别，并且response是响应变量。

layout <- structure(list(plot = c(1L, 3L, 5L, 7L, 8L, 11L, 12L, 15L, 16L, 
17L, 18L, 22L, 23L, 26L, 28L, 30L, 31L, 32L, 35L, 36L, 37L, 39L, 
40L, 42L), level = c(0L, 10L, 1L, 4L, 10L, 0L, 4L, 10L, 0L, 4L, 
0L, 1L, 0L, 10L, 1L, 10L, 4L, 4L, 1L, 1L, 1L, 0L, 10L, 4L), response = c(5.93, 
5.16, 5.42, 5.11, 5.46, 5.44, 5.78, 5.44, 5.15, 5.16, 5.17, 5.82, 
5.75, 4.48, 5.25, 5.49, 4.74, 4.09, 5.93, 5.91, 5.15, 4.5, 4.82, 
5.84), x = c(0, 0, 0, 3, 3, 3, 3, 6, 6, 6, 6, 9, 9, 12, 12, 12, 
15, 15, 15, 15, 18, 18, 18, 18), y = c(0, 10, 20, 0, 5, 20, 25, 
10, 15, 20, 25, 15, 20, 0, 15, 25, 0, 5, 20, 25, 0, 10, 20, 
25)), .Names = c("plot", "level", "response", "x", "y"), row.names = c(NA, 
-24L), class = "data.frame")

model <- lm(response ~ level, data = layout)      
summary(model)

问题

1. 如何计算协方差矩阵并将其包括在回归中？
2. 块非常不同，并且有很强的处理能力*块相互作用。分别分析它们是否合适？

1）您可以与nlme图书馆建立空间相关性模型；您可以选择几种可能的模型。参见Pinheiro / Bates的第260-266页。

一个好的第一步是制作一个变异函数图，以查看相关性如何取决于距离。

library(nlme)
m0 <- gls(response ~ level, data = layout)  
plot(Variogram(m0, form=~x+y))

在这里，样本半变异函数随距离的增加而增加，表明观测结果确实在空间上相关。

相关结构的一种选择是球形结构。可以通过以下方式建模。

m1 <- update(m0, corr=corSpher(c(15, 0.25), form=~x+y, nugget=TRUE))

尽管完全有可能使用其他可能的相关结构之一对其进行改进，但该模型似乎确实比没有相关结构的模型更适合。

> anova(m0, m1)
   Model df     AIC      BIC    logLik   Test  L.Ratio p-value
m0     1  3 46.5297 49.80283 -20.26485                        
m1     2  5 43.3244 48.77961 -16.66220 1 vs 2 7.205301  0.0273

2）您也可以尝试，包括x与y直接在模型; 如果相关模式不仅仅取决于距离，那么这可能是适当的。以您的情况（查看sesqu的图片）看来，无论如何对于此块，您可能都有对角线图案。

在这里，我将更新原始模型而不是m0，因为我仅更改固定效果，因此应该使用最大似然来拟合两个模型。

> model2 <- update(model, .~.+x*y)
> anova(model, model2)
Analysis of Variance Table

Model 1: response ~ level
Model 2: response ~ level + x + y + x:y
  Res.Df    RSS Df Sum of Sq      F   Pr(>F)   
1     22 5.3809                                
2     19 2.7268  3    2.6541 6.1646 0.004168 **

要比较这三个模型，您需要将它们全部都适合，gls并使用最大似然法代替REML的默认方法。

> m0b <- update(m0, method="ML")
> m1b <- update(m1, method="ML")
> m2b <- update(m0b, .~x*y)
> anova(m0b, m1b, m2b, test=FALSE)
    Model df      AIC      BIC     logLik
m0b     1  3 38.22422 41.75838 -16.112112
m1b     2  5 35.88922 41.77949 -12.944610
m2b     3  5 29.09821 34.98847  -9.549103

请记住，尤其是根据您对研究的了解，您也许能够提出一个比以上任何一个模型都更好的模型。也就是说，模型m2b不必一定被认为是最好的。

注意：这些计算是在将图37的x值更改为0之后执行的。

1）您的空间解释变量是什么？看起来x * y平面对于空间效果而言不是一个好的模型。

i=c(1,3,5,7,8,11,14,15,16,17,18,22,23,25,28,30,31,32,35,36,39,39,41,42)
l=rep(NA,42)[i];l[i]=level
r=rep(NA,42)[i];r[i]=response
image(t(matrix(-l,6)));title("treatment")
image(t(matrix(-r,6)));title("response")

2）看到块之间相距1英里的距离，并且您希望看到仅30米的效果，因此我认为单独分析它们是完全合适的。