为什么将随机变量定义为函数？

我在理解随机变量作为函数的概念时遇到问题。我了解机制（我认为），但不了解动机...

说是概率三倍，其中，是该区间的Borel-代数，是常规的Lebesgue测度。令为从到的随机变量，使得，，...，，因此在值1到6上具有离散的均匀分布。 $(\Omega, B, P)$ $\Omega = [0,1]$ $B$ $\sigma$ $P$ $X$ $B$ $\{1,2,3,4,5,6\}$ $X([0,1/6)) = 1$ $X([1/6,2/6)) = 2$ $X([5/6,1]) = 6$ $X$

这一切都很好，但我不明白，原来概率的必要性三重......我们可以直接构造的东西等同，其中是空间的所有合适的代数，而是一个度量，它为每个子集分配度量（元素数）/ 6。另外，的选择是任意的-它可以是或任何其他集合。 $(\{1,2,3,4,5,6\}, S, P_x)$ $S$ $\sigma$ $P_x$ $\Omega=[0,1]$ $[0,2]$

所以我的问题是，为什么要麻烦地构造带有代数和度量的任意，并定义一个随机变量作为从代数到实线的映射？ $\Omega$ $\sigma$ $\sigma$

probability random-variable measure-theory

— 里奥·巴斯克斯（Leo Vasquez）
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请注意，随机变量是从到的函数，而不是从到的函数。要求是相对于可以测量随机变量。

Ω

$\Omega$

R

$\mathbb{R}$

B

$\mathcal{B}$

R

$R$

B

$\mathcal{B}$

— mpiktas，2011年

Answers:

如果您想知道为什么在简单得多的东西就足够了的情况下使用所有这些机器-您是对的，在大多数情况下都是如此。但是，概率的量度理论版本是由Kolmogorov开发的，目的是建立一种普遍性的理论，以便在某些情况下可以处理非常抽象和复杂的概率空间。实际上，Kolmogorov的概率测度理论基础最终使概率工具的应用范围远远超出了其最初的预期应用领域，例如谐波分析。

乍一看，跳过任何“基础” -algebra并直接将概率质量直接分配给组成样本空间的事件似乎确实更简单，如您所建议的那样。确实，概率论者每当选择对定义的样本空间使用“归纳测度”时，都会有效地做同样的事情。但是，当您开始进入无限维空间时，事情就会变得棘手。假设您要证明在抛掷公平硬币的特定情况下的强大数定律（也就是说，随着硬币翻转次数达到无穷大，正面的比例趋于任意接近1/2）。您可以尝试构建 $\sigma$ $\Omega$ $P \circ X^{-1}$ $\sigma$ -形式的无穷序列集上的-代数。但是这里可以发现，将基础空间设为更为方便。然后使用实数的二进制表示形式（例如）来表示硬币翻转的序列（1为正面，0为反面。）在Billingsley 概率和前几章中可以找到该示例的说明。测量。 $(H,T,H,...)$ $\Omega = [0,1)$ $0.10100...$

— 查尔斯·郑
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谢谢！我会检查那本书。但是，由于仍然是任意的（在您的示例中，它也可能是，因此单位间隔或是'preferred'空间，它将在所有情况下都有效情况？还是在某些情况下，更复杂的，如会是有益的？

Ω

$\Omega$

[0, 2)

$[0,2)$

[0, 1]

$[0,1]$

[0, 1)

$[0,1)$

Ω

$\Omega$

R^{2}

$R^2$

— Leo Vasquez

@Leo：是的。连续时间随机过程提供了一个示例。典型的例子是布朗运动，其中样本空间被当作，即所有连续实数值函数的空间。

Ω

$\Omega$

C

$\mathcal{C}$

— 主教

@NRH，是的，我应该说可以采取而不是采取。我（有意地）试图将它刷在地毯下。

— 主教

@cardinal，在@Leo的评论中，询问是否在所有情况下均“首选”。我只是说，IMO没有这样，它是有益的，不要求任何东西一般。当您想使用一个特定的示例时，可能有理由选择一个特定的。但是请注意，“重言式”正在铺垫之下，需要确定布朗运动作为的概率度量的存在。

[0, 1]

$[0,1]$

Ω

$\Omega$

Ω

$\Omega$

Ω

$\Omega$

C

$\mathcal{C}$

— NRH

@NRH，很抱歉今天我的思想迟钝。我未能将首选参考链接到@Leo的先前评论。谢谢。关于“重言式”这一说法，我的观点是，在其他构造中，样本路径的连续性是一个定理，而在基于的身份映射构造中，它是重言式的。当然，必须首先显示可以以这种方式构造BM的事实。但是，这有点无关紧要。

C

$\mathcal{C}$

— 主教

关于代数的问题是数学上的细微差别，并不能真正解释我们为什么或是否需要背景空间。确实，我要说的是，没有令人信服的证据表明背景空间是必要的。对于任何概率设置，其中是样本空间，是代数和一个概率度量，其关注点是，并且有没有抽象的理由让我们希望成为可测量映射的图像度量。 $\sigma$ $(E, \mathbb{E}, \mu)$ $E$ $\mathbb{E}$ $\sigma$ $\mu$ $\mu$ $\mu$ $X : (\Omega, \mathbb{B}) \to (E, \mathbb{E})$

但是，使用抽象背景空间给数学带来了便利，使许多结果看起来更加自然和直观。我们的目标是总谈一下，该分布的，但它可能会更容易和方面更明确表示。 $\mu$ $X$ $X$

中心极限定理给出了一个例子。如果是均值和方差的iid实值，则CLT表示其中是标准正态分布的分布函数。如果的分布为，则根据量度得出的相应结果为需要对术语进行一些解释。用表示 $X_1, \ldots, X_n$ $\mu$ $\sigma^2$

P （ \frac{\sqrt{ñ}}{σ} （ \frac{1个}{ñ} \sum_{一世 = 1个}^{ñ} X_{一世} - ξ ） \leq X ） \to Φ （ X ）

$P\left(\frac{\sqrt{n}}{\sigma} \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i - \xi\right) \leq x \right) \to \Phi(x)$

Φ

$\Phi$

X_{i}

$X_i$

μ

$\mu$

ρ_{\sqrt{ñ} / σ} \circ τ_{ξ} \circ ρ_{1个 / ñ} （ μ^{* ñ} ） （ （ - \infty ， X] ） \to Φ （ X ）

$\rho_{\sqrt{n}/\sigma} \circ \tau_{\xi} \circ \rho_{1/n}(\mu^{*n})((-\infty, x]) \to \Phi(x)$

μ^{* n}

$\mu^{*n}$

n

$n$ -times的卷积（总和的分布）。函数是线性函数而是平移。一个人可能会习惯于第二种提法，但在隐藏其全部内容方面做得很好。

μ

$\mu$

ρ_{c}

$\rho_c$

ρ_{c} (x) = c x

$\rho_c(x) = cx$

τ_{ξ}

$\tau_{\xi}$

τ_{ξ} (x) = x - ξ

$\tau_{\xi}(x) = x - \xi$

问题似乎在于，CLT中涉及的算术转换用随机变量表示得很清楚，但就度量而言却不那么好。

— NRH
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（+1）好描述。我认为前一种符号如此流行的另一个原因是，它更自然地转化为应用程序中的直观概念。（几个小时前投票结束。）

— 主教

@cardinal，感谢您阐明这一点。用变量的总和而不是概率度量的卷积进行思考和争论似乎更自然，我们希望数学能够反映这一点。

— NRH

我直到最近才偶然发现这种新方法来思考随机变量以及背景空间。我不确定这是否是您要寻找的问题，因为这不是数学原因，但我认为它提供了一种非常简洁的方式来考虑RV。 $X$ $\Omega$

想像一下我们扔硬币的情况。此实验装置由一组可能的初始条件组成，其中包括对硬币投掷方式的物理描述。背景空间由所有那些可能的初始条件组成。为简单起见，我们可以假设抛硬币的速度只是变化，然后将 $\Omega = [0,v_{max}]$

然后可以将随机变量视为一个函数，该函数将每个初始状态映射到实验的相应结果，即是尾巴还是头部。 $X$ $\omega \in \Omega$

对于RV：量度随后将对应于初始条件下的概率量度，其与表示的实验动力学一起确定了结果上的概率分布。 $X:([0,v_{max}], B\cap [0,v_{max}], Q)\to (\{0,1\}, 2^{\{0,1\}})$ $Q$ $X$

作为这个想法的参考，您可以查看“物理概率”（2011）中的蒂姆·莫德林或米歇尔·史蒂文斯（Micheal Strevens）章节。

— 塞巴斯蒂安
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