一堆飞机事故有多奇怪？

原始问题（14/7/25）：新闻媒体的这句话是否有意义，或者是否有更好的统计方法来查看最近发生的飞机意外事件？

但是，巴内特（Barnett）也提请注意泊松分布的理论，这意味着两次碰撞之间的短暂间隔实际上比长时间碰撞更可能发生。

巴内特说：“假设每年平均发生一次致命事故，这意味着在任何一天发生车祸的可能性是365分之一。” “如果8月1日发生崩溃，则下次崩溃发生在8月2日一天之后的机会是1/365。但是下次崩溃发生在8月3日发生的机会是（364/365）x（1/365） ，因为只有在8月2日没有崩溃的情况下，下一次崩溃才会在8月3日发生。”

巴内特说：“这似乎是违反直觉的，但结论是无条件地根据概率定律得出的。”

资料来源：http : //www.bbc.com/news/magazine-28481060

说明性（14/7/27）：（对我而言）反直觉的是，罕见事件往往会在很短的时间内发生。凭直觉，我认为罕见事件不会及时发生。有人能指出泊松分布假设下事件之间时间的理论或经验预期分布吗？（即，直方图，其中y轴是频率或概率，x轴是两次连续出现之间的时间，分为2天，数周，数月或数年等。）谢谢。

澄清（7/28/14）：标题暗示比起广泛分布的事故，它更有可能发生事故簇。让我们对其进行操作。假设一个集群是3起飞机事故，短时间是3个月，长时间是3年。认为在3个月内发生3次事故的可能性比3年内发生事故的可能性更高，这似乎是不合逻辑的。即使我们将第一起事故定为自然事件，但认为未来3个月内与未来3年内还会再发生2起事故是不合逻辑的。如果这是真的，那么新闻媒体的标题就是误导和不正确的。我想念什么吗？

摘要：BBC引用的段落中的第一句草率且具有误导性。

尽管先前的答案和评论已经进行了精彩的讨论，但我仍觉得主要问题并未得到令人满意的回答。

因此，让我们假设在任何一天飞机失事的概率为，而且崩溃是相互独立的。让我们进一步假设一架飞机在1月1日坠毁。下一架飞机何时会坠毁？$p=1/365$

好吧，让我们做一个简单的模拟：接下来三年中的每一天，我将随机决定是否有另一架飞机以概率坠毁，并记下下次坠毁的日期；我将重复此过程$p$次 这是结果直方图：$100\,000$

实际上，概率分布可以简单地由，其中t是天数。我将该理论分布绘制为一条红线，您可以看到它与蒙特卡罗直方图非常吻合。备注：如果时间在越来越小的仓中离散化，则这种分布将收敛到指数级；但这与讨论无关紧要。$\mathrm{Pr}(t) = (1-p)^t p$$t$

正如许多人已经在这里指出的那样，这是一条递减的曲线。这意味着下一架飞机在第二天（1月2日）坠毁的概率高于下一架飞机在任何给定的一天（例如，明年1月2日）坠毁的概率（相差几乎三倍：和0.10 ％）。$0.27\%$$0.10\%$

$0.8\%$$94\%$ 这就是为什么即使单调递减的概率分布，也很可能不会出现“团簇”（例如三天内两次飞机坠毁）。

这是另一个直方图，可以真正说明这一点。它只是几个不相交时间段内先前直方图的总和：

记者说的是，飞机失事的随机发生可以被建模为泊松过程-一种情况，在某个（较小）间隔内发生事件的概率与所述间隔的长度成正比，并且每次发生在独立的所有其他人。

对于所描述的场景，这是否是一个合理的模型？

大概。

当然，这些事件可能不是100％独立的，因为其他飞行员在撞机后可能会改变其行为（如果只是非常轻微的话）。[我不知道-也许一些飞行员会做一些额外的模拟器培训或类似的工作]。尽管如此，独立的假设仍然是完全合理的。

那群飞机失事呢？

是。给定泊松过程（或什至是其他随机过程），您可能希望看到一些事件簇。

实际上，正如《牛津统计学词典》在其泊松过程条目（这是对“随机性的数学描述”）中所述：

[R]andomness usually gives rise to apparent clustering, despite the natural
expectation that randomness would lead to regularity.

例如，查看以下简单的R代码：

set.seed(123)
x <- runif(500)
y <- runif(500)

plot(x, y, pch=20, col='blue', main="A Random Distribution of Points")

产生：

即使我们知道这是一个随机点图，它看起来也似乎有一些非随机位-特别是，在该图的某些部分中，有成簇的点，而其他部分则是敞开的。本文试图描述的是这种行为（仅针对时间序列数据，而非空间数据）。

更新：

@JoelW .：因此，例如，假设一架飞机明天（或该日的任何一天）坠毁的机率是“ p ”（并且说“ p ”是百分之一）。

之所以接下来的飞机失事是更可能发生，明天比它更可能整整一年发生的（即年7月26 到2015年），是因为下一次危机是在整整一年的概率等于：

= Prob(crash tomorrow) * Prob(365 days with *no* crashes)

合理？

最后，我认为，这些东西都是反直觉的原因是因为通常当我们看待一个短语："The odds of a plane crash in one month compared with the odds of one happening tomorrow"。我们自然不会立即考虑恰好在一个月内开始的24小时周期。相反，我们（或者至少是我）倾向于更多，更好，更灵活地考虑它。所以更喜欢：a month ± a week。那就是我们忘记考虑过渡期间未发生崩溃的可能性的事实 ……（但再次，也许就是我……）。

！

其他资源：

• 维基百科有关聚类错觉的文章
• 一份pdf文件专门提到了飞机失事的“聚类”（第8页），并简要介绍了Poisson过程的数学原理。

如果飞机坠毁的次数是泊松分布（正如他似乎所说的），则两次坠落之间的时间呈指数分布。指数分布的pdf是时间的单调递减函数。因此，较早的崩溃比以后的崩溃更有可能。

其他答案已经涉及到独立事件如何聚集。（这些年前读格里克的《混沌》，使我对这个想法大开眼界。）

但是，实际上，有充分的证据表明飞机坠毁不是独立事件。恰尔迪尼的影响力在这方面有非常好的一章（这里也提到了它与数据的一些链接；我发现了本书那部分的摘录）。显然，这是一个极富争议的话题：基本上是说，空难越受关注，就越有可能影响飞行员（有意或无意）使飞机坠毁。但是，假说背后的心理学解释似乎是合理的，数据似乎也支持了这一假设。

（在评论中，欢迎链接到基于统计的揭穿研究。）