两个泊松随机变量之比的分布是什么？

我有一个关于随机变量的问题。让我们假设我们有两个随机变量和。假设是具有参数泊松分布，而是具有参数泊松分布。 $X$ $Y$ $X$ $\lambda_1$ $Y$ $\lambda_2$

当您从生成裂缝并将其称为随机变量，该分布如何分布，这是什么意思？是吗？ $X/Y$ $Z$ $\lambda_1/\lambda_2$

random-variable poisson-distribution

— 马克·多拉尔
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我在寻找参考文献时碰巧遇到了这个问题。泊松比的推论是非常简单的，对于常客来说（Nelson，1970，“两个泊松均值与泊松预测因子间隔之比的置信区间”）和贝叶斯理论（Lindley，1965）。零分母也没问题！

— Frank Tuyl 2014年

原来的提问，等人，可能有兴趣地注意到，

具有期望值

。根据您的应用程序，它可能比

用途更大。欲了解更多详情，请参阅我在杂志分析原子光谱法，纸28，52，称为“同位素统计偏见” W / DOI：10.1039 / C2JA10205F。

X / (Y + 1)

$X/(Y+1)$

(λ_{1} / λ_{2}) (1 - e^{- λ_{2}})

$(\lambda_1/\lambda_2) (1-e^{-\lambda_2})$

X / Y

$X/Y$

这是天文学中经常遇到的问题。贝叶斯解决方案由Park等人提出。（2006年，Astrophysical Journal，v652，610-628，贝叶斯硬度比估计：建模和计算）。它们包括背景污染。

— user78543 2015年

从摘要上看，他们在处理OP的问题并不明显。本文与两个泊松随机变量之比的分布有何关系？

— 安迪

ttu-ir.tdl.org/ttu-ir/bitstream/handle/2346/59954/...

— 的Kjetil b Halvorsen的

Answers:

我认为您将对此有疑问。因为变量Y将具有零，所以X / Y将具有一些未定义的值，因此您将不会获得分布。

— bill_080
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+1是的。但是（为了避免可能出现的混乱），问题不仅仅在于

可以等于

：它还可以正概率等于

。（例如，即使分母可以等于

，法线的商也确实具有分布。）因此，

的定义是具有正概率的，因此其均值（以及其他任何矩）也都不确定。

Y

$Y$

0

$0$

0

$0$

0

$0$

X / Y

$X/Y$

— ub

+1，但是在关于错误发现率的文献中，人们对

没问题，其中

是真实的阳性，而

是阳性的总数:-)。按照惯例，通常会理解，0中的0等于

X / Y

$X/Y$

X

$X$

Y

$Y$

— 0。– NRH

@Mark：最好将其作为一个新问题提出，并确切地了解您要实现的目标。

— bill_080

@NRH在您的情况下，

对

有很强的依赖性。这完全改变了事情，因为现在正零比率的可能性为零。

X

$X$

Y

$Y$

— Whuber

@whuber，那是正确的。感谢您指出了这一点。我只是在想，也许有一些未阐明的约定使问题有意义。但是从@MarkDollar的上面的评论看来，开始并非如此。

— NRH

通过意识到比率实际上不是定义明确的可测量集合，我们将比率重新定义为适当可测量的集合其中求和只要遵循与，和和是独立的泊松变量。密度来自Radon-Nykodym定理。

P [\frac{X}{Y} \leq r] := P [X \leq r Y] = \sum_{y = 0}^{\infty} \sum_{x = 0}^{⌊ r y ⌋} \frac{λ_{2}^{y}}{y!} e^{- λ_{2}} \frac{λ_{1}^{x}}{x!} e^{- λ_{1}}

$\mathbb{P}\left[\frac{X}{Y} \leq r \right] := \mathbb{P}\left[X \leq r Y\right]\\ = \sum_{y = 0}^\infty \sum_{x=0}^{\left\lfloor ry \right\rfloor} \frac{\lambda_{2}^y }{y!}e^{-\lambda_2} \frac{\lambda_{1}^x }{x!}e^{-\lambda_1}$

r > 0

$r > 0$

X

$X$

Y

$Y$

— 亚伦·谢尔顿
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假定

来自零截断的Poisson分布。那么答案是：

Y

$Y$

— 垃圾平衡