转换比例数据：arcsin平方根不足时

对于百分比/比例数据，是否有（更强的）替代arcsin平方根的变换？在我目前正在处理的数据集中，应用此转换后仍存在明显的异方差性，即残差与拟合值的关系图仍然是菱形。

编辑以回应评论：数据是实验参与者的投资决定，他们可能以10％的倍数投资捐赠基金的0-100％。我还使用序数逻辑回归分析了这些数据，但想了解有效的glm会产生什么。另外，我认为答案对将来的工作很有用，因为反正弦方根似乎被用作我领域的一种“千篇一律”的解决方案，而且我没有遇到任何采用的替代方法。

当然。John Tukey描述了EDA中的一系列（不断增加的，一对一的）转换。它基于以下思想：

1. 能够按照参数控制将尾巴（朝0和1延伸）。

2. 然而，到中间（靠近匹配原始（未转化的）值$1/2$），这使得转换更容易解释。

3. 做出关于重新表达对称$1/2.$ 即，如果$p$是重新表示为$f(p)$，然后$1-p$将被重新表示为$-f(p)$。

如果与任何单调递增函数开始$g: (0,1) \to \mathbb{R}$在可微$1/2$可以调整它，以满足第二和第三标准：只要定义

分子是显式对称的（标准$(3)$），因为将$p$与$1-p$交换可以使减法相减，从而取反。地看到，$(2)$被满足时，请注意，分母是恰恰需要使因子$f^\prime(1/2)=1.$ 回想一下，衍生物接近支持线性函数的函数的局部行为; 的斜率$1=1:1$，从而意味着$f(p)\approx p$（加上常数$-1/2$）当$p$是足够接近$1/2.$ 这是在其中的原始值被感测“的中间附近相匹配。”

Tukey将此称为$g$的“折叠”版本。他的家庭由功率和对数变换$g(p) = p^\lambda$其中，当$\lambda=0$，我们考虑$g(p) = \log(p)$。

让我们看一些例子。当$\lambda = 1/2$，我们得到折叠的根部或“福鲁特，” $f(p) = \sqrt{1/2}\left(\sqrt{p} - \sqrt{1-p}\right)$。当$\lambda = 0$，我们有折叠对数，或“鞭打”$f(p) = (\log(p) - \log(1-p))/4.$ 显然，这仅仅是的常数倍分对数变换，$\log(\frac{p}{1-p})$。

在该曲线图的蓝色线对应于$\lambda=1$，中间红线$\lambda=1/2$，且极端绿线到$\lambda=0$。虚线金线是反正弦变换，$\arcsin(2p-1)/2 = \arcsin(\sqrt{p}) - \arcsin(\sqrt{1/2})$。斜坡的“匹配”（标准$(2)$）使所有的曲线图，以重合邻近$p=1/2.$

参数$\lambda$最有用的值在$1$和$0$之间。（你可以让尾部甚至负值重$\lambda$，但这种用法是罕见的。） $\lambda=1$不这样做的所有事情，除了recenter值（$f(p) = p-1/2$）。当$\lambda$缩小为零时，尾部进一步拉向$\pm \infty$。这满足标准＃1。因此，通过选择适当的$\lambda$值，您可以控制尾部重新表达的“强度”。

一种包含方式是包含索引转换。一个普通的方法是使用任何对称的（逆）累积分布函数，从而和˚F （X ）= 1 - ˚F （- X ）。一个示例是具有ν自由度的标准学生t分布。参数v控制转换后的变量逐渐变回无穷大的速度。如果将v设置为1，则具有arctan变换：$F(0)=0.5$$F(x)=1-F(-x)$$\nu$$v$$v=1$

这比反正弦要极端得多，比对数变换要极端得多。注意，分对数变换可以通过使用t分布被粗略近似。SO以某种方式提供了logit和probit（ν = ∞）转换之间的近似链接，并将它们扩展到更极端的转换。$\nu\approx 8$$\nu=\infty$

这些变换的问题在于，当观察到的比例等于1或0时，它们给出。因此，您需要以某种方式缩小这些范围-最简单的方法是添加+ 1个 “成功”和+ 1个 “失败”。$\pm\infty$$1$$0$$+1$$+1$