为什么随着样本数量的增加，t分布变得更正常？

根据Wikipedia，我了解到，当样本是来自正态分布总体的iid观测值时，t分布就是t值的样本分布。但是，我不直观地理解为什么这会导致t分布的形状从肥尾变为几乎完全正常。

我得到的是，如果您从正态分布中进行采样，那么如果您进行大样本采样，它将类似于该分布，但是我不知道为什么它从它的胖尾形状开始。

normal-distribution t-distribution

— user1205901-恢复莫妮卡
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Answers:

我将尝试给出一个直观的解释。

t统计量*具有分子和分母。例如，一个样本t检验中的统计量为

\frac{\bar{X} - μ_{0}}{s / \sqrt{ñ}}

$\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}$

*（有几个，但是希望此讨论应该足够笼统以涵盖您所要询问的内容）

在此假设下，分子具有正态分布，均值为0，未知标准偏差为零。

在相同的一组假设下，分母是分子分布的标准偏差（分子统计量的标准误差）的估计值。它独立于分子。其平方是卡方随机变量除以其自由度（也是t分布的df）乘以。 $\sigma_\text{numerator}$

当自由度较小时，分母趋向于相当右偏。它有很大的机会小于其平均值，而有一个相当小的机会。同时，它也有可能比其平均值大得多。

在正态性假设下，分子和分母是独立的。因此，如果我们从该t统计量的分布中随机抽取，则会得到一个正常的随机数除以右偏分布中第二个随机*选择的值，该值的平均值约为1。

*不考虑正常用语

因为它在分母上，所以分母分布中的小值会产生非常大的t值。分母的右偏使t统计量重尾。当位于分母上时，分布的右尾部使t分布比与t具有相同标准偏差的正态峰更尖锐。

但是，随着自由度变大，分布看起来更正常，并且在其均值周围更加“紧密”。

在此处输入图片说明

这样，随着自由度的增加，分母对分子分布形状的影响减小。

最终-正如Slutsky定理所暗示的那样，我们可能会发生-分母的作用变得更像是被常数除，并且t统计量的分布非常接近正态。

以分母的倒数考虑

豪布尔在评论中建议，看一下分母的倒数可能会更有启发。也就是说，我们可以将t统计量写为分子（正常）乘以分母的倒数（右偏）。

例如，我们上面的一样本t统计量将变为：

\sqrt{ñ} （ \bar{X} - μ_{0} ） \cdot 1个 / s

${\sqrt{n}(\bar{x}-\mu_0)}\cdot{1/s}$

现在考虑在原有的总体标准差，。我们可以乘以它，如下所示： $X_i$ $\sigma_x$

\sqrt{ñ} （ \bar{X} - μ_{0} ） / σ_{X} \cdot σ_{X} / s

${\sqrt{n}(\bar{x}-\mu_0)/\sigma_x}\cdot{\sigma_x/s}$

第一项是标准正态。第二项（缩放后的反卡方随机变量的平方根）然后通过大于或小于1的值来缩放标准法线，“将其散布”。

在正常的假设下，产品中的两个术语是独立的。因此，如果我们从该t统计量的分布中随机抽取，我们将得到一个正常的随机数（乘积中的第一项）乘以右偏分布为“通常约为1。

当df较大时，该值趋于非常接近1，但是当df较小时，其偏斜度较大，并且展开较大，此缩放因子的右尾较大会使尾部很胖：

在此处输入图片说明

— Glen_b-恢复莫妮卡
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谢谢！这已经澄清了很多，但是我仍然不确定“它的平方是卡方随机变量除以其自由度（也是t分布的df）乘以[分子的标准偏差] ”。您是否仅仅因为知道这是一件有用的事情而提到了它，还是与我的问题的答案直接相关？我知道您的图中描述的是分母的分布，而不是分母的平方的分布。

— user1205901-恢复莫妮卡2014年

即使不是 df上卡方的平方根，统计量的分布也会比正态分布重。从这种意义上讲，它不会直接更改答案以将其遗漏。但是至少，它可以解释图中比例尺分布的来源。

— Glen_b-恢复莫妮卡2014年

我认为，基于样本标准偏差的倒数进行此分析可能会更有启发性。这样，再加上样本SD与样本均值无关的论点（一个需要进一步强调和解释的关键思想，恕我直言），将有助于人们看到将样本均值除以样本SD即可散布正态分布。（当然，这是Gossett发现的全部要点。）

— 更糟

@whuber我添加了一个关于互惠的部分，但也保留了原来的讨论（在我看来，这是更直接的，但我很高兴很多人可能会从互惠中受益匪浅）。我

— 还将

s / \sqrt{n}

$s/\sqrt{n}$

σ / \sqrt{n}

$\sigma/\sqrt{n}$

s / σ

$s/\sigma$

σ / s

$\sigma/s$

σ

$\sigma$

@Glen_b让您直观地了解为什么随着样本量的增加，t统计量看起来更正常。现在，我将为您提供有关统计信息分布情况的详细技术说明。

$n-1$ $n$

\frac{{（ 1个 + \frac{X^{2}}{ñ - 1个} ）}^{- ñ / 2}}{\sqrt{ñ - 1个} 乙 （ \frac{ñ - 1个}{2} ， \frac{1个}{2} ）} 。

$\frac{\left(1+\frac{x^2}{n-1}\right)^{-n/2}}{\sqrt{n-1} B\left(\frac{n-1}{2},\frac{1}{2}\right)}.$

有可能表明

\frac{1个}{\sqrt{ñ - 1个} 乙 （ \frac{ñ - 1个}{2} ， \frac{1个}{2} ）} \to \frac{1个}{\sqrt{2 π}} ，

$\frac{1}{\sqrt{n-1} B\left(\frac{n-1}{2},\frac{1}{2}\right)}\rightarrow \frac{1}{\sqrt{2\pi}},$

和

{（ 1个 + \frac{X^{2}}{ñ - 1个} ）}^{- ñ / 2} \to 经验值 （ - X^{2} / 2 ） ，

$\left(1+\frac{x^2}{n-1}\right)^{-n/2}\rightarrow \exp(-x^2/2),$

如 $n\rightarrow \infty$ 。通过取这两个极限的乘积，您可以看到Student-t密度完全收敛到标准法线密度。

— 克鲁格
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PDF的融合似乎并没有说太多。例如，您可以混入

1 / n

$1/n$ PDF的分布与

(1 + (x / n)^{2})^{- 1}

$(1 + (x/n)^2)^{-1}$ 与每个

t_{n}

$t_n$ 分布，并且仍然达到相同的限制PDF，但是序列中的所有分布都会变得发胖。像这样的细微行为的可能性使得基于PDF限制的论点变得不那么令人满意。此外，这个问题不是真的询问小自由度吗？它想知道为什么序列“以它的肥尾形状开始”。

— whuber

@whuber答案很简单：有一个

- n

$-n$ 在力量，这使尾巴变轻

n

$n$ 增加。我们只需要担心手头的情况，而不用担心其他可能发生奇怪事情的假设情况。

— 克鲁格2014年

我只是想分享一些有助于初学者的直觉的东西（尽管它比其他答案没有那么严格）。

如果 $Z, Z_1, ..., Z_n$ 是标准的正常RV，然后是以下RV，

\frac{ž}{\sqrt{\frac{ž_{1个}^{2} + 。 。 。 + ž_{ñ}^{2}}{ñ}}}

$\frac{Z}{\sqrt{\frac{Z_1^2+...+Z_n^2}{n}}}$

与t分布 $n$ 自由程度。

如 $n$ 变得很大，使用大数定律，我们可以看到分母变为 $1$ 。所以你只剩下 $Z$ 这是标准正态，这就是为什么t分布看起来像正态 $n$ 变大。

详细说明...请注意 $E[Z^2] = 1$ 表示卡方RV的期望值为1。平方根中的分数只是的样本均值 $n$ 艾德 $Z_i^2$ 房车。样本平均值为 $n$ 变得超大将等于其中之一的期望值 $Z_i^2$ 是的。

这样 $n$ 变得很大，您只剩下 $\frac{Z}{\sqrt{1}} = Z$

— HJ_beginner
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