我应该对高度偏斜的数据使用t检验吗？请科学证明吗？

我有一个高度偏斜的（看起来像指数分布）数据集有关用户参与的样本（例如，帖子数），样本大小不同（但不少于200个），我想比较它们的平均值。为此，我使用了两个样本的不成对t检验（以及当样本具有不同的方差时，使用带有Welch因子的t检验）。据我所知，对于非常大的样本，样本不是正态分布的都没关系。

有人回顾了我所做的事情后说，我使用的测试不适合我的数据。他们建议在使用t检验之前对样本进行对数转换。

我是一个初学者，因此使用“参与度指标的对数”回答我的研究问题确实让我感到困惑。

他们错了吗？我错了吗？如果它们是错误的，是否有我可以引用/展示的书籍或科学论文？如果我错了，应该使用哪个测试？

我不会将“指数”称为高度偏斜。例如，它的对数明显是左偏斜，其力矩偏斜仅为2。

1）使用指数数据且接近500 的t检验是$n$ 可以的：

a）检验统计量的分子应该是好的：如果数据是具有共同标度的独立指数（并且没有比其重得多的尾数），则它们的平均值将以形状参数等于观测数量的伽玛分布。当形状参数大于40左右时，它的分布看起来非常正常（取决于需要精确到尾部的距离）。

这可以进行数学证明，但是数学不是科学。当然，您可以通过模拟进行经验检查，但是如果您对指数不正确，则可能需要更大的样本。当n = 40时，这就是指数数据的样本总和（即样本均值）的分布：

非常轻微的倾斜。这种偏斜随着样本大小的平方根减小。因此，在n = 160时，它的倾斜度是一半。在n = 640时，其倾斜度为四分之一：

通过将其翻转到均值上方并将其绘制在顶部，可以看出它实际上是对称的：

蓝色是原始的，红色是翻转的。如您所见，它们几乎是偶然的。

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b）更重要的是，两个这样的伽玛分布变量（例如，您使用指数方法获得）之差更接近正常，并且在零值（您需要的地方）下，偏度为零。这是：$n=40$

也就是说，在小于样本大小下，t统计量的分子非常接近于法线。$n=500$

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c）然而，真正重要的是整个统计量在零值下的分布。分子的正态性不足以使t统计量具有t分布。但是，在指数数据的情况下，这也不是什么大问题：

红色曲线是df = 78时t统计量的分布，直方图是在指数样本上使用Welch t检验得到的结果（均等值为零；真实的Welch-Satterthwaite自由度为给定的样本往往会比78小一些）。特别是，您的重要性级别区域中的尾部区域应该相似（除非您有一些非常不寻常的重要性级别，否则它们是）。请记住，这是，而不是。在更好。$n=40$$n=500$$n=500$

但是请注意，对于实际指数数据，只有在均值不同的情况下，标准差才会不同。如果是指数推定，则在零假设下，无需特别担心不同的总体方差，因为它们仅在替代条件下发生。因此，均方差t检验仍然可以（在这种情况下，您在直方图中看到的上述良好近似甚至可能会更好）。

2）尽管可以记录日志，但仍然可以理解它

如果null为true，并且您具有指数分布，则说明正在测试比例参数的相等性。对日志的均值进行位置测试将针对日志中的位置偏移备选方案（原始值的比例更改）测试比例参数的日志是否相等。如果您在中的位置测试中得出结论，逻辑与得出。因此，使用t检验对原木进行测试可以很好地测试原始假设。$\log\lambda_1\neq\log\lambda_2$$\lambda_1\neq\lambda_2$

[如果您在日志中进行该测试，那么在这种情况下，我倾向于建议进行均方差测试。]

因此-与上面我所讲的类似，仅用一两个句子就可以证明联系的合理性-您应该能够得出结论，而不是关于参与度量的对数，而是关于参与度量本身。

3）您还可以做很多其他事情！

a）您可以进行适合指数数据的测试。容易得出基于似然比的测试。碰巧的是，对于指数数据，在一种尾部情况下，您会针对这种情况获得小样本F检验（基于均值比）；对于小样本量，两个尾部的LRT在每个尾部中通常不会有相等的比例。（这应该具有比t检验更好的功效，但是t检验的功效应该是相当合理的，我希望您的样本量不会有太大差异。）

b）您可以进行置换检验-如果愿意，甚至可以基于t检验。因此，唯一改变的是p值的计算。或者，您可以进行其他一些重采样测试，例如基于引导的测试。尽管应该部分取决于您选择的测试统计量（相对于您的分布），它应该具有良好的性能。

c）您可以进行基于等级的非参数检验（例如Wilcoxon-Mann-Whitney）。如果您假设分布不同，那么它们仅相差一个比例因子（适用于各种偏斜分布，包括指数），那么您甚至可以获得比例参数比率的置信区间。

[为此，我建议使用对数刻度（日志中的位置偏移为刻度偏移的对数）。它不会更改p值，但是它将允许您对点估计值和CI限取幂，以获取刻度位移的间隔。]

如果您处于指数状态，那么它也应该具有相当好的功效，但是可能不如使用t检验那么好。

对于位置偏移的替代方案（例如，在零值下具有方差和偏度异质性的情况），考虑了相当广泛的一组情况的参考文献是

Fagerland，MW和L.山特维克（2009），
“五两样本位置的测试用于与不等方差，偏斜分布性能”
当代临床试验，30，490-496

通常倾向于推荐Welch U检验（Welch考虑的几种测试中的一项，也是唯一一项测试）。如果您使用的Welch统计数据不完全相同，则建议可能会有所不同（尽管可能相差不大）。[请注意，如果您的分布是指数分布的，那么除非您使用对数，否则您会对比例尺替代感兴趣...在这种情况下，您不会有不相等的方差。]