平方伽玛的期望

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如果使用和参数化了Gamma分布，则： $\alpha$ $\beta$

E (Γ (α, β)) = \frac{α}{β}

$E(\Gamma(\alpha, \beta)) = \frac{\alpha}{\beta}$

我想计算平方Gamma的期望值，即：

E (Γ (α, β)^{2}) = ?

$E(\Gamma(\alpha, \beta)^2) = ?$

我认为是：

E (Γ (α, β)^{2}) = {(\frac{α}{β})}^{2} + \frac{α}{β^{2}}

$E(\Gamma(\alpha, \beta)^2) = \left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^2 + \frac{\alpha}{\beta^2}$

有人知道后一种表达是否正确吗？

expected-value gamma-distribution

— 约书亚记
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这与我正在进行的模拟研究有关，我正在研究从Gamma绘制标准偏差，然后想要方差的平均值（即，平方Gammas）。

— 2014年

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任何随机变量平方的期望值是其方差加上期望值平方，如

$\mathbb{D}^2(X)=\mathbb{E}([X-\mathbb{E}(X)]^2)=\mathbb{E}(X^2)-[\mathbb{E}(X)]^2 \Rightarrow \mathbb{E}(X^2) = \mathbb{D}^2(X)+[\mathbb{E}(X)]^2$ 。

如上设置的参数的期望值为（如您所述），方差为，因此，其平方的期望值为 $\Gamma$ $\alpha/\beta$ $\alpha/\beta^2$

$(\alpha/\beta)^2+\alpha/\beta^2$ 。

那就是：你是对的。

— 塔玛斯·费伦奇（Tamas Ferenci）
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我感谢您的答复，尽管我不确定我是否遵循您的方程式-如果您通过D2（X）遵循方程式，则最终等于D2（X）+ E（X）^ 2

— Joshua

3

那条线不是一个方程！请注意中间的箭头。第一部分（在箭头的左侧）是一个等式，表示第二个方程式（在箭头的右侧）。（通过在两边加上。）

[E (X)]^{2}

$[\mathbb{E}(X)]^2$

— Tamas Ferenci 2014年

7

为了完整起见，我将直接根据密度计算原始矩。首先，在形状/速率参数化下，伽玛分布的密度为对于任何参数，我们都会认为尽管此结果很容易从恒等式得出然后得出对于一个正整数，

f_{X} (x) = \frac{β^{α} x^{α - 1} e^{- β x}}{Γ (α)}, x > 0.

$f_X(x) = \frac{\beta^\alpha x^{\alpha-1} e^{-\beta x}}{\Gamma(\alpha)}, \quad x > 0.$

α, β > 0

$\alpha, \beta > 0$

\int_{x = 0}^{\infty} f_{X} (x) d x = 1,

$\int_{x=0}^\infty f_X(x) \, dx = 1,$

\int_{z = 0}^{\infty} x^{z - 1} e^{- z} d z = Γ (z) .

$\int_{z=0}^\infty x^{z-1} e^{-z} \, dz = \Gamma(z).$

k

$k$

\begin{aligned} E [X^{k}] & = \int_{x = 0}^{\infty} x^{k} f_{X} (x) d x \\ = \frac{1}{Γ (α)} \int_{x = 0}^{\infty} β^{α} x^{α + k - 1} e^{- β x} d x \\ = \frac{Γ (α + k)}{β^{k} Γ (α)} \int_{x = 0}^{\infty} \frac{β^{α + k} x^{α + k - 1} e^{- β x}}{Γ (α + k)} d x \\ = \frac{Γ (α + k)}{β^{k} Γ (α)}, \end{aligned}

$\begin{align*} \mathrm{E}[X^k] &= \int_{x=0}^\infty x^k f_X(x) \, dx \\ &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_{x=0}^\infty \beta^\alpha x^{\alpha+k-1} e^{-\beta x} \, dx \\ &= \frac{\Gamma(\alpha+k)}{\beta^k \Gamma(\alpha)} \int_{x=0}^\infty \frac{\beta^{\alpha+k} x^{\alpha+k-1} e^{-\beta x}}{\Gamma(\alpha+k)} \, dx \\ &= \frac{\Gamma(\alpha+k)}{\beta^k \Gamma(\alpha)}, \end{align*}$ ，在倒数第二步中，我们观察到积分等于因为它是伽玛密度与参数和的积分。对于，我们立即获得

1

$1$

α + k

$\alpha+k$

β

$\beta$

k = 2

$k = 2$

E [X^{2}] = \frac{Γ (α + 2)}{β^{2} Γ (α)} = \frac{(α + 1) α}{β^{2}} .

$\mathrm{E}[X^2] = \frac{\Gamma(\alpha+2)}{\beta^2 \Gamma(\alpha)} = \frac{(\alpha+1)\alpha}{\beta^2}.$ 另一种方法是通过力矩生成函数：，其中的条件是积分收敛所必需的。我们可以将其重写为然后得出

\begin{aligned} M_{X} (t) = E [e^{t X}] & = \int_{x = 0}^{\infty} \frac{β^{α} x^{α - 1} e^{- β x + t x}}{Γ (α)} d x \\ = \frac{β^{α}}{(β - t)^{α}} \int_{x = 0}^{\infty} \frac{(β - t)^{α} x^{α - 1} e^{- (β - t) x}}{Γ (α)} d x \\ = (\frac{β}{β - t})^{α}, t < β, \end{aligned}

$\begin{align*} M_X(t) = \mathrm{E}[e^{tX}] &= \int_{x=0}^\infty \frac{\beta^\alpha x^{\alpha-1} e^{-\beta x + tx}}{\Gamma(\alpha)} \, dx \\ &= \frac{\beta^\alpha}{(\beta-t)^\alpha} \int_{x=0}^\infty \frac{(\beta-t)^\alpha x^{\alpha-1} e^{-(\beta-t)x}}{\Gamma(\alpha)} \, dx \\ &= \biggl(\frac{\beta}{\beta-t}\biggr)^{\!\alpha}, \quad t < \beta, \end{align*}$

t

$t$

M_{X} (t) = (1 - t / β)^{- α},

$M_X(t) = (1 - t/\beta)^{-\alpha},$

E [X^{k}] = {[\frac{d^{k} M_{X} (t)}{d t^{k}}]}_{t = 0} = {[(1 - t / β)^{- α - k}]}_{t = 0} \prod_{j = 0}^{k - 1} \frac{α + j}{β} = \frac{Γ (α + k)}{β^{k} Γ (α)} .

$\mathrm{E}[X^k] = \left[ \frac{d^k M_X(t)}{dt^k} \right]_{t=0} = \left[(1-t/\beta)^{-\alpha-k}\right]_{t=0} \prod_{j=0}^{k-1} \frac{\alpha+j}{\beta} = \frac{\Gamma(\alpha+k)}{\beta^k \Gamma(\alpha)}.$

— 疱疹
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非常清楚且有用的推导。

— 2014年