QQ线的置信带

这个问题不是专门针对 R，但我选择用R它来说明。

考虑一下围绕（正常）qq线产生置信带的代码：

library(car)
library(MASS)
b0<-lm(deaths~.,data=road)
qqPlot(b0$resid,pch=16,line="robust")

我正在寻找一种解释（或替代性的解释为纸/在线文档的链接）这些置信带的构造方式（我已经在R的帮助文件中看到了对Fox 2002的引用，但可惜我没有这个方便的书）。

我的问题将通过一个例子更加精确。这是R计算这些特定CI的方式（我已经缩短/简化了中使用的代码car::qqPlot）

x<-b0$resid
good<-!is.na(x)
ord<-order(x[good])
ord.x<-x[good][ord]
n<-length(ord.x)
P<-ppoints(n)
z<-qnorm(P)
plot(z,ord.x,type="n")
coef<-coef(rlm(ord.x~z))
a<-coef[1]
b<-coef[2]
abline(a,b,col="red",lwd=2)
conf<-0.95
zz<-qnorm(1-(1-conf)/2)
SE<-(b/dnorm(z))*sqrt(P*(1-P)/n)     #[WHY?]
fit.value<-a+b*z
upper<-fit.value+zz*SE
lower<-fit.value-zz*SE
lines(z,upper,lty=2,lwd=2,col="red")
lines(z,lower,lty=2,lwd=2,col="red")

问题是：用于计算这些SE的公式的合理性是什么（例如line SE<-(b/dnorm(z))*sqrt(P*(1-P)/n)）。

FWIW该公式与线性回归中常用的置信带公式非常不同

confidence-interval linear-model qq-plot

— 用户603
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我希望这与订单统计信息

的分布有关

，更特别的渐近结果：

f_{X_{(k)}} (x) = \frac{n!}{(k - 1)! (n - k)!} [F_{X} (x)]^{k - 1} [1 - F_{X} (x)]^{n - k} f_{X} (x)

$f_{X_{(k)}}(x) =\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}[F_X(x)]^{k-1}[1-F_X(x)]^{n-k} f_X(x)$

X_{(⌈ n p ⌉)} \sim A N (F^{- 1} (p), \frac{p (1 - p)}{n [f (F^{- 1} (p))]^{2}})

$X_{(\lceil np \rceil)} \sim AN\left(F^{-1}(p),\frac{p(1-p)}{n[f(F^{-1}(p))]^2}\right)$

— Glen_b-恢复莫妮卡2014年

@Glen_b是正确的。约翰福克斯写在35-36页：“次序统计的标准误差

是

X_{(i)}

$X_{(i)}$

S E (X_{(i)}) = \frac{\hat{σ}}{p (z_{i})} \sqrt{\frac{P_{i} (1 - P_{i})}{n}}

$\mathrm{SE}(X_{(i)})=\frac{\hat{\sigma}}{p(z_i)}\sqrt{\frac{P_i(1-P_i)}{n}}$

p (z)

$p(z)$

P (z)

$P(z)$

{\hat{X}}_{(i)} = \hat{μ} + \hat{σ} z_{i}

$\widehat{X}_{(i)}=\hat{\mu}+\hat{\sigma}z_{i}$

{\hat{X}}_{(i)} \pm 2 \times S E (X_{(i)})

$\widehat{X}_{(i)}\pm 2\times \mathrm{SE}(X_{(i)})$

f (F^{- 1} (p))

$f(F^{-1}(p))$

(p (z_{i}) / \hat{σ})

$(p(z_i)/\hat{\sigma})$

F_{X_{（ ķ ）}} （ X ） = \frac{ñ ！}{（ ķ - 1个 ） ！ （ ñ - ķ ） ！} [F_{X} （ X ）]^{ķ - 1个} [1个 - F_{X} （ X ）]^{ñ - ķ} F_{X} （ X ）

$f_{X_{(k)}}(x) =\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}[F_X(x)]^{k-1}[1-F_X(x)]^{n-k} f_X(x)$

X_{（ ⌈ ñ p ⌉ ）} 〜 一种 ñ （ F^{- 1个} （ p ） ， \frac{p （ 1个 - p ）}{ñ [F （ F^{- 1个} （ p ） ）]^{2}} ）

$X_{(\lceil np \rceil)} \sim AN\left(F^{-1}(p),\frac{p(1-p)}{n[f(F^{-1}(p))]^2}\right)$

正如COOLSerdash在评论中提到的那样，John Fox [1]在第35-36页上写道：

订单统计量的标准误差 $X_{(i)}$
$小号 Ë （ X_{（一世）} ） = \frac{\hat{σ}}{p （ ž_{一世} ）} \sqrt{\frac{P_{一世} （ 1个 - P_{一世} ）}{ñ}}$ $\mathrm{SE}(X_{(i)})=\frac{\hat{\sigma}}{p(z_i)}\sqrt{\frac{P_i(1-P_i)}{n}}$ 哪里 $p(z)$ 是与CDF对应的概率密度函数 $P(z)$ 。沿着拟合线的值由下式给出 $\widehat{X}_{(i)}=\hat{\mu}+\hat{\sigma}z_{i}$ . An approximate 95% confidence "envelope" around the fitted line is, therefore, $\widehat{X}_{(i)}\pm 2\times \mathrm{SE}(X_{(i)})$ .

Then we just need to recognize that $f(F^{-1}(p))$ is estimated by $(p(z_i)/\hat{\sigma})$ .

[1] Fox, J. (2008),
Applied Regression Analysis and Generalized Linear Models, 2nd Ed.,
Sage Publications, Inc

— Glen_b -Reinstate Monica
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