每个半正定矩阵都对应一个协方差矩阵吗？

众所周知，协方差矩阵必须是半正定的，但是反过来是真的吗？

也就是说，每个半正定矩阵是否对应于协方差矩阵？

covariance matrix

— 晶晶
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通过PD和PSD的定义会在这里，是的，我是这么认为的，因为我们可以通过建设做到这一点。我假定一个稍微简单的参数是指具有真实元素的矩阵，但是经过适当的更改，它将扩展到复杂的矩阵。

设为一些实际的PSD矩阵；从我链接到的定义来看，它将是对称的。任何实际的对称正定矩阵可写为。这可以通过进行 $A$ $A$ $A = LL^T$ 如果与正交和对角线和 $L=Q\sqrt{D}Q^T$ $A=QDQ^T$ $Q$ $D$ 作为组分明智平方根的矩阵。因此，它不必是全等级的。 $\sqrt{D}$ $D$

令为适当维度的矢量随机变量，并带有协方差矩阵（易于创建）。 $Z$ $I$

然后具有协方差矩阵。 $LZ$ $A$

[至少从理论上讲。在实践中，如果您想获得良好的结果，则会遇到各种各样的数值问题，而且-由于浮点计算的常见问题-您只能大致获得所需的数据；即，计算机的总体方差通常不会恰好。但是，当我们开始实际计算事物时，这类事物始终是个问题] $LZ$ $A$

— Glen_b-恢复莫妮卡
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虽然这是事实，分解

可以不用满秩，乔列斯基算法只适用于普通

。因此，如果没有完整的排名，它就不可能是霍尔斯基分解。在计算上，可以通过对角化在奇异情况下进行这种分解。（尽管这要贵得多）

A = L L^{'}

$A=LL'$

A

$A$

— 霍斯特·格伦布施（HorstGrünbusch

@Horst：为什么

是下三角形吗？

L = Q \sqrt{D} Q^{T}

$L=Q\sqrt{D}Q^T$

— 变形虫说恢复莫妮卡2014年

@amoeba虽然可以将其组织起来，但不必使它的三角形变小即可起作用-这是Cholesky的功能，但不需要它就可以使结果起作用。

— Glen_b-恢复莫妮卡2014年

@Glen对称是成为PSD的必要条件还是该定义是其中之一？

— 114年

@ 114有关对称和PSD之间的关系，请参见math.stackexchange.com/questions/516533/…–

— 弗兰克（Frank）