如何发展条件概率的直觉？

在可以在iTunes和YouTube上找到的哈佛大学统计110：概率课程的视频讲座中，我遇到了这个问题。 我试图在这里总结一下：

假设我们从标准牌组中随机获得两张牌。

1. 如果我们至少有一张王牌，那么两张牌都是王牌的概率是多少？

$$P(both\ aces | have\ ace) = \frac{P(both\ aces, have\ ace)}{P(have\ ace)}$$

由于如果您同时拥有两个A，则意味着至少要有一个A，因此可以将交集减少为$P(both\ aces)$

$$P(both\ aces | have\ ace) = \frac{P(both\ aces)}{P(have\ ace)}$$

这就是

$$P(both\ aces | have\ ace) = \frac{4C2\ /\ 52C2}{1-48C2\ /\ 52C2}=\frac{1}{33}$$

2. 考虑到我们拥有黑桃A，那么两张牌都是王牌的概率是多少？

$$P(both\ aces | have\ ace\ of\ spades)=\frac{P(both\ aces, have\ ace\ of\ spades)}{P(have\ ace\ of\ spades)}$$

$$P(both\ aces | have\ ace\ of\ spades)=\frac{(3C1*1C1)\ /\ 52C2}{2!*\frac{51}{52}*\frac{1}{51}}=\frac{1}{17}$$

现在，在这些示例中，我迷路了……

后者显然与3相同，这对我来说很有意义（对我而言）。如果被告知您拥有（例如）黑桃的王牌，那么您知道还有3张A和51张卡。$\frac{3}{51}$$3$$51$

但是在前一个示例中，数学似乎很好（并且我相信讲师不会在这个示例不正确的情况下给出这个示例...），但是我无法解决这个问题。

我如何对这个问题有一些直觉？

为了帮助直觉，请考虑可视化两个事件（结果集）：

1. 调节事件，即给出的信息。

2. 条件事件，您希望找到其概率。

通过将第二个机会除以第一个机会来找到条件概率。

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有可能性相同的方式随机发两张牌。可视化这些交易的一种便捷方法是将它们布置在一个表中，表中有（例如）行指定第一张已发牌，第二行列第二张。这是此表的一部分，省略号（⋯）表示缺少的部分。请注意，由于两张卡不能相同，因此表的主对角线上没有条目。行和列从A到King依次排列：$52 \times 51$$\cdots$

问题集中在王牌上。信息“我们至少有一个王牌”将该对定位在前四行或前四列中。在我们的脑海中，我们可以通过为这些行和列上色来示意地将其可视化。我已经将它们涂成红色，但是当两个 ace都出现时，我已经将它们涂成黑色：

有 $2\times 6 = 12$$2\times (4\times 48) = 384$$12+384=396$

$$\frac{12}{396} = \frac{1}{33}.$$

它是红色+黑色区域的黑色部分。

第二个问题断言“我们拥有黑桃王牌”。这仅对应于第一行和第一列：

现在有 $2\times 3 = 6$$2\times 48=96$$96+6 = 102$

$$\frac{6}{102} = \frac{1}{17}.$$

同样，它是红色+黑色区域的黑色部分。

$12$$6$

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我发现这样的示意图甚至在试图理解更复杂的概率概念（例如sigma代数的过滤）时也很有用（也许尤其是）。

设置导致第二次计算的问题的另一种方法如下：

您从卡组中抽出两张牌。假设您抓到的第一张牌是A ，那么有两个A的概率是多少？

此措词使与第一次计算的对比变得更加容易。选出两个A的潜在机会不会改变，但获得第一个的条件张牌作为A的条件比如果其中任何一个为A的条件更具限制性。这意味着在条件概率计算中，所需的组合必须在较少的选项之间发生，因此概率较大。

两种不同的措辞（黑桃王牌与第一张牌为王牌）相似，因为它们破坏了王牌之间的对称性/可交换性：西服或定单不能任意互换。

刚开始时，我很难直觉。

一种想法是使问题达到极限。在这种情况下，正如史蒂夫（Steve）指出的，一个相同的问题是：我的邻居有两个孩子-您知道其中一个是男孩。她有两个男孩的概率是多少？

第一个想法是，好吧，我有一个男孩，另一个孩子有1/2个机会成为女孩，有1/2个机会成为男孩，但是在这种情况下，您并没有获取所有可以提供给您的信息（至少您有一个男孩），因为这暗示男孩可能是最小的孩子，年龄最大的是女孩，反之亦然，或者两者都是男孩，这意味着三种可能结果中只有一种是有利的。

就像我说的那样，这更容易将问题解决到极限...

案例1：与“我们有一个王牌”相同的抽象案例->在本例中，我的邻居没有2个孩子，但是有27个，而您知道26个是男孩，发生这种情况的可能性几乎为零。在这种情况下，很明显，此信息为您提供了很多信息，从概率上讲，剩下的孩子是女孩。确切地说，您将有一个案例，其中有27个男孩，比如说一个元组（b，b，b，b，b，b，b ...，b），还有27个案例，其中有1个女孩和26个男孩（g，b，b ，b ...），（b，g，b，b，b ...），因此所有男孩的概率为1/27，通常为1 /（N + 1）

案例2：具体信息。这与“我们有黑桃A”或“我们有第一张牌是A”相同。在这种情况下，想象一下我们的邻居有26个孩子，所有男孩，并怀有27个孩子。27号将成为男孩的概率是多少？

有了case2，我很确定我们所有人都可以掌握这种不太明显的条件概率问题所需的直觉。

如果您想致富，您必须押注第一种情况下的26个男孩和27个男孩，因为缺乏具体的信息意味着留在孩子上的概率很大，而在第二种情况下，熵很大，我们有没有信息知道在哪里下注。

我希望这是有用的

不用计算怎么能知道答案是3/51？

如果您首先获得黑桃A。我知道包装里有哪些卡。因此，在51张牌上还有3张A牌。因此对于第二个，您有3/51的机会拥有两个A。

以及如何直观地理解这两种情况之间的区别？

这是因为“具有2个A”中包含“具有1个A”。但是，“具有黑桃A”不包括在“具有两个A”中。这是区别。

实际上，如果您有两个王牌，那么您只有一个，而不是黑桃王牌，所以概率不一样。

这个答案是针对另一个帖子的，此帖子已在此帖子上移动了。