线性变换后随机向量的协方差

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如果是随机向量并且是一个固定矩阵，有人可以解释为什么 $\mathbf {Z}$ $A$

c o v [A Z] = A c o v [Z] A^{⊤} .

$\mathrm{cov}[A \mathbf {Z}]= A \mathrm{cov}[\mathbf {Z}]A^\top.$

covariance

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对于均值向量的随机（列）向量，协方差矩阵定义为。因此，平均向量为的的协方差矩阵由 $\mathbf Z$ $\mathbf{m} = E[\mathbf{Z}]$ $\operatorname{cov}(\mathbf{Z}) = E[(\mathbf{Z}-\mathbf{m})(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^T]$ $A\mathbf{Z}$ $A\mathbf{m}$

\begin{aligned} cov (A Z) & = E [(A Z - A m) (A Z - A m)^{T}] \\ = E [A (Z - m) (Z - m)^{T} A^{T}] \\ = A E [(Z - m) (Z - m)^{T}] A^{T} \\ = A cov (Z) A^{T} . \end{aligned}

$\begin{align}\operatorname{cov}(A\mathbf{Z}) &= E[(A\mathbf{Z}-A\mathbf{m})(A\mathbf{Z}-A\mathbf{m})^T]\\ &= E[A(\mathbf{Z}-\mathbf{m})(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^TA^T]\\ &= AE[(\mathbf{Z}-\mathbf{m})(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^T]A^T\\ &= A\operatorname{cov}(\mathbf{Z})A^T. \end{align}$

— 迪利普·萨瓦特（Dilip Sarwate）
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1

我纠正了错字。感谢您指出我的错误。

— user92612 2014年

4

我想补充一下Dilip Sarwate的答案，即转换也具有相同的结果： $\mathbf{Z}A^T$

C Ø v （ ž {一种}^{Ť} ） = 一种 C Ø v （ ž ） {一种}^{Ť}

$\mathrm{cov}(\mathbf{Z}A^T) = A\mathrm{cov}(\mathbf{Z})A^T$

使用相同的方法：

\begin{aligned} c o v (Z A^{T}) & = E [(Z A^{T} - m A^{T}) (Z A^{T} - m A^{T})^{T}] \\ = E [(Z - m) A^{T} A (Z - m)^{T}] \\ = E [A (Z - m) (Z - m)^{T} A^{T}] \\ = A E [(Z - m) (Z - m)^{T}] A^{T} \\ = A c o v (Z) A^{T} \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm{cov}(\mathbf{Z}A^T)&=\mathbb{E}[(\mathbf{Z}A^T-\mathbf{m}A^T)(\mathbf{Z}A^T-\mathbf{m}A^T)^T] \\ &=\mathbb{E}[(\mathbf{Z}-\mathbf{m})A^TA(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^T] \\ &=\mathbb{E}[A(\mathbf{Z}-\mathbf{m})(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^TA^T] \\ &=A\mathbb{E}[(\mathbf{Z}-\mathbf{m})(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^T]A^T \\ &=A\mathrm{cov}(\mathbf{Z})A^T \\ \end{align}$

$AB^TBA^T=BAA^TB^T$

\begin{aligned} A B^{T} B A^{T} & = {({(A B^{T} B A^{T})}^{T})}^{T} \\ = {(B A^{T} A B^{T})}^{T} \\ = B {(B A^{T} A)}^{T} \\ = B A A^{T} B^{T} \end{aligned}

$\begin{align}AB^TBA^T &= \left(\left(AB^TBA^T\right)^T\right)^T \\ &= \left(BA^TAB^T\right)^T \\ &= B\left(BA^TA\right)^T \\ &= BAA^TB^T \end{align}$

— Jan Kukacka
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