测试以区分周期性数据和几乎周期性数据

假设我有一些未知功能与域ℝ，我知道要实现像连续性一些合理的条件。我知道在某些等距采样点t_i = t_0 +iΔt且i∈ \ {1，…，n \}的情况下f的确切值（因为数据来自模拟），我可以假设它足够精细来捕获所有f的相关方面，例如，我可以假设在两个采样点之间最多有一个f的局部极值。我正在寻找一个测试，该测试告诉我我的数据是否符合正好是周期性的f，即∃τ：f（t +τ）= f（t）\，∀\，t$f$$ℝ$$f$$t_i=t_0 + iΔt$$i∈\{1,…,n\}$$f$$f$$f$$∃τ: f(t+τ)=f(t) \,∀\,t$，周期长度有些合理，例如$Δt < τ < n·Δt$（但可以想象，如果需要的话，我可以设定更强的约束条件）。

从另一个角度来看，我有数据${x_0, …, x_n}$并且正在寻找一个测试来回答是否存在周期函数$f$（如上所述的满足条件）使得$f(t_i)=x_i ∀ i$。

重要的一点是$f$至少非常接近周期性（例如，$f(t) := \sin(g(t)·t)$或$f(t) := g(t)·\sin(t)$与$g'(t) ≪ g(t_0)/Δt$）到这样的程度：只需少量更改一个数据点就足以使数据符合$f$是精确的周期性。因此，用于频率分析的标准工具（例如傅立叶变换或分析零交叉）将无济于事。

请注意，我正在寻找的测试可能不会出现概率。

我对如何自己设计这样的测试有一些想法，但是想避免重新发明轮子。因此，我正在寻找现有的测试。

正如我所说，我有一个想法，该想法我得以实现，完善和撰写，并发表在该论文上：Chaos 25，113106（2015） – 在ArXiv上预印。

研究的标准几乎与问题中所描绘的标准相同：给定在时间点采样的数据，测试将确定是否存在函数和使得：$x_1, \ldots, x_n$$t_0, t_0 + Δt, \ldots, t_0 + nΔt$$f: [t_0, t_0 + Δt] → ℝ$$τ ∈ [2Δt,(n-1)Δt]$

• $f(t_0 + iΔt)=x_i\quad \forall i∈\{1,…,n\}$
• $f(t+τ)=f(t) \quad∀t∈[t_0, t_0 + Δt-τ]$
• $f$局部极值不超过序列，唯一可能的例外是，每个极值都靠近的开头和结尾。$x$$f$

可以修改测试以解决小的误差，例如模拟方法的数值误差。

^{我希望我的论文也能回答为什么我对这样的测试感兴趣。}

使用离散傅里叶变换（DFT）将数据转换到频域。如果数据是完全周期性的，则将恰好有一个频率值较高的频率仓，而其他频率仓将为零（或接近零，请参见频谱泄漏）。

注意，频率分辨率由。因此，这为检测精度设置了极限。$\frac{\text{sampling frequency}}{\text{Number of samples}}$

如果您知道实际的周期信号，请计算

$\text{difference} = \Big|\text{theoretical data} - \text{measured data}\big|$

然后对的元素求和。如果它高于阈值（考虑到浮点运算法则的错误），则数据不是周期性的。$\text{difference}$